Zadanie 26

Klucz — skale dla brył podobnych

Jeśli dwie bryły są podobne w skali $k$ (każdy odpowiadający wymiar jest $k$ razy większy), to:

Długości (krawędzie, wysokości, …) skalują się jak $k$
Pola (powierzchnie, podstawy, …) skalują się jak $k^{2}$
Objętości skalują się jak $k^{3}$

Ta hierarchia $k$ , $k^{2}$ , $k^{3}$ to fundament wszystkich zadań o bryłach podobnych. Reszta to arytmetyka.

Wyznacz skalę podobieństwa $k$ ze stosunku objętości.

$\frac{V _{2}}{V _{1}} = k^{3} \Rightarrow \frac{512}{64} = k^{3} \Rightarrow k^{3} = 8 \Rightarrow k = 2$

Wyznacz stosunek pól powierzchni.

$\frac{P _{2}}{P _{1}} = k^{2} = 2^{2} = 4$

Odpowiedź: $\frac{P _{2}}{P _{1}} = 4$

Typowy błąd — odpowiedź 8

Najwięcej osób wpisuje 8 — bo $512 \div 64 = 8$ , więc „chyba pole też tak”. To pułapka pomijająca różnicę wymiarów: objętość to wymiar trzeci (centymetry sześcienne), pole to wymiar drugi (centymetry kwadratowe). Skalują się różnie.

Bezpieczna ścieżka: najpierw wyznacz $k$ ze stosunku objętości (czyli pierwiastek sześcienny), potem podnieś do kwadratu dla stosunku pól.

Kalkulator pamięciowy

Gdy widzisz „bryły podobne, stosunek objętości $X$ , znajdź stosunek pól” — to zawsze:

$\frac{P _{2}}{P _{1}} = (\frac{V _{2}}{V _{1}})^{2/3}$

Tutaj $(\frac{512}{64})^{2/3} = 8^{2/3} = (8^{1/3})^{2} = 2^{2} = 4$ . Ten sam wynik, jedna linijka.

Podobnie w drugą stronę: jeśli znasz stosunek pól, to stosunek objętości to $(\frac{P _{2}}{P _{1}})^{3/2}$ . A jeśli znasz stosunek długości — wszystko leży na ekspozycjach: $k$ , $k^{2}$ , $k^{3}$ .

Treść zadania

Klucz — skale dla brył podobnych

Kalkulator pamięciowy

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji