Zadanie 27

Co liczymy?

Mamy 4 różne cyfry: ${1, 3, 6, 8}$ . Ustawiamy je w czterech pozycjach kodu — każda cyfra pojawia się dokładnie raz. To klasyczna permutacja zbioru 4-elementowego.

Sposób I — reguła mnożenia (intuicyjnie)

Wybierz cyfrę na pierwszej pozycji. Mamy do dyspozycji wszystkie 4 cyfry. → 4 możliwości.

Wybierz cyfrę na drugiej pozycji. Jedna cyfra już użyta (nie może się powtórzyć). → 3 możliwości.

Wybierz cyfrę na trzeciej pozycji. Dwie już użyte. → 2 możliwości.

Wybierz cyfrę na czwartej pozycji. Trzy już użyte, pozostała jedna. → 1 możliwość.

Wymnóż wszystkie wybory (reguła mnożenia):

$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Sposób II — wzór na permutacje

Liczba permutacji zbioru $n$ -elementowego to $n!$ (silnia $n$ ). Dla $n = 4$ :

$P_{4} = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Ten sam wynik — wzór to po prostu skrócona wersja reguły mnożenia.

Odpowiedź: C — $24$ kody.

Typowe błędy

Odpowiedź D ( $16$ ) — wybiera ten, kto liczy $4 \cdot 4 = 16$ , ale to ma sens tylko gdy cyfry mogą się powtarzać i mamy 2 pozycje. Tutaj cyfry są różne i pozycji jest cztery.

Odpowiedź B ( $10$ ) — wybór dwóch elementów ze zbioru 4-elementowego, $(2 4) \cdot co \overset{s}{ˊ}$ . Brak związku z zadaniem.

Odpowiedź A ( $4$ ) — sama liczba cyfr w zbiorze. Pełne pomylenie pytania.

Klucz na maturze — trzy typy zliczania

Sytuacja	Liczba sposobów
Permutacja $n$ różnych obiektów	$n!$
Wariacje z powtórzeniami ( $k$ z $n$ )	$n^{k}$
Wariacje bez powtórzeń ( $k$ z $n$ )	$\frac{n !}{( n - k )!}$
Kombinacje ( $k$ z $n$ , bez kolejności)	$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Sprawdź: czy kolejność ma znaczenie? Tutaj tak — kod “1368” to inny kod niż “3168”. Czy elementy się powtarzają? Tutaj nie — każda cyfra dokładnie raz. Stąd permutacja, $4! = 24$ .

Treść zadania

Co liczymy?

Sposób I — reguła mnożenia (intuicyjnie)

Sposób II — wzór na permutacje

Klucz na maturze — trzy typy zliczania

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji