Zadanie 28

Trik — średnia nie zmienia się przy proporcjonalnym powieleniu

Średnia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę elementów. Jeśli każdy element zostanie powtórzony tę samą liczbę razy, to:

suma rośnie tę samą liczbę razy
liczba elementów rośnie tę samą liczbę razy
iloraz (czyli średnia) się nie zmienia

To intuicja. Sprawdzimy formalnie.

Zapisz średnią z $a, b, c$ .

$\frac{a + b + c}{3} = 9$

Stąd:

$a + b + c = 27$

Oblicz średnią z $a, a, b, b, c, c$ .

$\frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \frac{2 ( a + b + c )}{6} = \frac{a + b + c}{3}$

Czyli ta sama formuła co przed chwilą! Wynik:

$\frac{a + b + c}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Odpowiedź: A — średnia jest nadal równa $9$ .

Typowe błędy

Odpowiedź D ( $18$ ) — wybiera ten, kto myśli „dwa razy więcej liczb = dwa razy większa średnia”. Niepoprawne. Suma rzeczywiście rośnie dwukrotnie, ale mianownik (liczba elementów) też rośnie dwukrotnie — efekty się znoszą.

Odpowiedź C ( $4, 5$ ) — odwrotny błąd: „dwa razy więcej liczb = dwa razy mniejsza średnia”. Też nieprawda — tylko gdy dorzucalibyśmy zera lub liczby równe średniej, ale tu dodajemy te same liczby co już są.

Odpowiedź B ( $6$ ) — strzał arytmetyczny, brak rzeczywistego rozwiązania.

Klucz pamięciowy

Powielenie każdego elementu tą samą liczbą razy → średnia bez zmian.

Dodawanie/odejmowanie stałej do każdego elementu → średnia zmienia się o tę stałą.

Pomnożenie każdego elementu przez stałą → średnia mnoży się przez tę stałą.

Te trzy reguły pokrywają 80% pytań o średnią na maturze. Sprawdź zawsze, czy operacja jest jednostajna na wszystkich elementach — wtedy zachodzą.

Treść zadania

Trik — średnia nie zmienia się przy proporcjonalnym powieleniu

Klucz pamięciowy

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji