Zadanie 18

Matura z matematyki, maj 2023, poziom podstawowy

Wymaganie:

VII.1 — wykorzystywanie definicji funkcji tangens dla kątów od $0°$ do $180°$ .

Treść zadania

Zadanie 18. (0-1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono kąt $α$ o wierzchołku w punkcie $O = (0, 0)$ . Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $O x$ , a drugie przechodzi przez punkt $P = (- 3, 1)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $α$ jest równy

\frac{1}{10}

(- \frac{3}{10})

(- \frac{3}{1})

(- \frac{1}{3})

Kąt α o wierzchołku O = (0, 0) w układzie współrzędnych: jedno ramię na dodatniej półosi Ox, drugie przechodzi przez punkt P = (−3, 1). — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305 Oryginalny PDF CKE, str. 17

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: $tan α = \frac{x}{y}$ zamiast $\frac{y}{x}$ (odpowiedź C to $\frac{- 3}{1}$ ). Dla punktu $(x, y)$ na ramieniu kąta $tan α = \frac{y}{x}$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 18 - tangens kąta przez współrzędne — Strona 17 arkusza CKE - zadanie 18. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 17

Co zrobić?

Wyznacz $tan α$ dla kąta z wierzchołkiem w $O$ , jedno ramię na osi $O x$ , drugie przez $P = (- 3, 1)$ .

Skorzystaj z definicji tangensa z punktu na ramieniu. Jeśli punkt $P = (x, y)$ leży na ramieniu kąta (różny od początku układu), to:

$tan α = \frac{y}{x}$

Podstaw: $x = - 3$ , $y = 1$ :

$tan α = \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}$

To odpowiedź D.

Sprawdzenie geometryczne. Punkt $P = (- 3, 1)$ leży w II ćwiartce → kąt $α$ jest rozwarty (między $90°$ a $180°$ ). Tangens kąta rozwartego jest ujemny ✓.

Po co to umieć

Definicja funkcji trygonometrycznych przez punkt na ramieniu kąta:

$sin α = \frac{y}{r}, cos α = \frac{x}{r}, tan α = \frac{y}{x}$

gdzie $r = x^{2} + y^{2}$ . Ta definicja obejmuje także kąty rozwarte (nie tylko ostre).

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „tangens kąta, definicja przez współrzędne” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl