Zadanie 23

Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach

$k : y = \frac{2}{3} x$

$l : y = - \frac{3}{2} x + 13$

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Proste $k$ oraz $l$ A./B. i przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych 1./2./3.

A. są prostopadłe B. nie są prostopadłe

1. $(- 6, - 4)$ 2. $(6, 4)$ 3. $(- 6, 4)$

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Wyznacz $∠ A BC$ (kąt wpisany w okrąg, oparty na łuku $A C$ ).

Trójkąt $A OC$ jest równoramienny. $O A = OC = r$ (oba odcinki to promienie okręgu). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:

$∠ O A C = ∠ OC A = 70°$

Oblicz kąt $∠ A OC$ (kąt środkowy). Suma kątów trójkąta = $180°$ :

$∠ A OC = 180° - 70° - 70° = 40°$

Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym. Kąt wpisany $∠ A BC$ jest oparty na tym samym łuku $A C$ co kąt środkowy $∠ A OC$ . Twierdzenie:

$∠ wpisany = \frac{1}{2} ∠ \overset{s}{ˊ} rodkowy$

$∠ A BC = \frac{1}{2} \cdot 40° = 20°$

Twierdzenie o kącie wpisanym: kąt wpisany w okrąg jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Drugi przydatny fakt: trójkąt utworzony przez dwa promienie + cięciwę jest zawsze równoramienny.

Razem dają algorytm: kąt środkowy → trójkąt OAC równoramienny → kąty $O A C, OC A$ równe → suma kątów $180°$ → wpisany = $\frac{1}{2}$ środkowego.