Zadanie 22 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 22. (0-2)

Trójkąty prostokątne $T_{1}$ i $T_{2}$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_{1}$ mają długości $5$ i $12$ . Przeciwprostokątna trójkąta $T_{2}$ ma długość $26$ .

Oblicz pole trójkąta $T_{2}$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: pomylenie wzoru na pole rombu z bokiem ( $a^{2} sin α$ ) ze wzorem z przekątnymi ( $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ ). Klucz: oba wzory liczą to samo pole, więc można je porównać.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 22 (20 CKE) - iloczyn przekątnych rombu — Strona 18 arkusza CKE - zadanie 20. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 18

Co zrobić?

Iloczyn $d_{1} \cdot d_{2}$ przekątnych rombu o boku $a = 62$ i kącie $α = 150°$ .

Zapisz dwa wzory na pole rombu — jeden z bokiem i kątem, drugi z przekątnymi:

$P = a^{2} \cdot sin α$

$P = \frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2}$

Oblicz pole z pierwszego wzoru.

$a = 62$ , więc $a^{2} = (62)^{2} = 36 \cdot 2 = 72$ .

$sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = \frac{1}{2}$ .

$P = 72 \cdot \frac{1}{2} = 36$

Porównaj wzory i wyznacz iloczyn przekątnych:

$36 = \frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2}$

$d_{1} \cdot d_{2} = 72$

Po co to umieć

Dwa wzory na pole rombu:

$P = a^{2} sin α$ (z boku i kąta)
$P = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ (z przekątnych)
$P = a \cdot h$ (z boku i wysokości)

Wszystkie liczą to samo pole — można porównywać między sobą, by wyznaczyć brakujące wielkości.

Wartości $sin$ kątów rozwartych: $sin (180° - x) = sin x$ . Dlatego $sin 150° = sin 30° = \frac{1}{2}$ .

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „romb, pole, iloczyn przekątnych" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl