Zadanie 22 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PP

Treść zadania

Zadanie 22. (0-2)

Trójkąty prostokątne $T_{1}$ i $T_{2}$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_{1}$ mają długości $5$ i $12$ . Przeciwprostokątna trójkąta $T_{2}$ ma długość $26$ .

Oblicz pole trójkąta $T_{2}$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Pole $T_{2} = 120$

Przeciwprostokątna $T_{1} = 25 + 144 = 13$ . Skala podobieństwa $k = 26/13 = 2$ . Pole $T_{2} = P_{1} \cdot k^{2} = 30 \cdot 4 = 120$ .

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: pomnożenie pola razy $k$ zamiast $k^{2}$ . Przy podobieństwie ze skalą $k$ długości mnożą się przez $k$ , a pola przez $k^{2}$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 22 - trójkąty podobne — Strona 19 arkusza CKE - zadanie 22. Na podstawie: CKE 2023 Oryginalny PDF CKE, str. 19

Co zrobić?

Wyznacz pole trójkąta $T_{2}$ podobnego do $T_{1}$ (o przyprostokątnych $5, 12$ ), wiedząc, że przeciwprostokątna $T_{2}$ wynosi $26$ .

Oblicz przeciwprostokątną $T_{1}$ z twierdzenia Pitagorasa:

$c_{1} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$

Wyznacz skalę podobieństwa $k =$ stosunek odpowiednich boków:

$k = \frac{c _{2}}{c _{1}} = \frac{26}{13} = 2$

Oblicz pole $T_{1}$ :

$P_{1} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

Pole $T_{2}$ . Przy skali $k$ pola figur podobnych są w stosunku $k^{2}$ :

$P_{2} = P_{1} \cdot k^{2} = 30 \cdot 2^{2} = 30 \cdot 4 = 120$

Sprawdzenie alternatywne. Boki $T_{2}$ : $5 \cdot 2 = 10$ i $12 \cdot 2 = 24$ . Pole $T_{2} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ . ✓

Po co to umieć

Liczby $(5, 12, 13)$ to trójka pitagorejska ( $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ ) — warto ją rozpoznawać. Inne przykłady: $(3, 4, 5)$ , $(7, 24, 25)$ , $(8, 15, 17)$ , $(9, 40, 41)$ .

Skala podobieństwa pozwala przeliczać między figurami: dowolny element $T_{2}$ = odpowiadający element $T_{1}$ × $k$ (dla długości) lub × $k^{2}$ (dla pola).

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „trójkąty podobne, twierdzenie Pitagorasa, pole” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl