Zadanie 1

Treść zadania

Zadanie 1. (0-2)

W chwili początkowej ( $t = 0$ ) masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t \geq 0$ funkcja $m (t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji $m (t)$ . Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1, 5$ grama. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Wzór: $m (t) = 4 \cdot 0, 8 1^{t}$

Po $5$ pełnych dobach masa po raz pierwszy < $1, 5$ g.

Sprawdzenie: $m (4) \approx 1, 72$ , $m (5) \approx 1, 40$ .

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: $m (t) = 4 \cdot 0, 1 9^{t}$ — ubywa $19%$ , więc zostaje $81%$ . Drugi błąd: nierówność $0, 8 1^{t} < 0, 375$ rozwiązana ze złym znakiem (przy logarytmowaniu liczb < 1 znak nierówności się odwraca).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 1 - rozpad substancji — Strona 4 arkusza CKE PR - zadanie 1. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 4

Co zrobić?

Wyznacz funkcję $m (t)$ opisującą masę substancji po $t$ dobach. Następnie znajdź najmniejsze $t \in N$ , dla którego $m (t) < 1, 5$ .

Modeluj rozpad jako ciąg geometryczny. Po każdej dobie zostaje $100% - 19% = 81%$ poprzedniej masy:

$m_{t + 1} = 0, 81 \cdot m_{t}$

Stąd:

$m (t) = 4 \cdot 0, 8 1^{t}$

Ułóż nierówność $m (t) < 1, 5$ :

$4 \cdot 0, 8 1^{t} < 1, 5$

$0, 8 1^{t} < 0, 375$

Sprawdź kolejne wartości $t$ (szybszy niż logarytm):

$t$	$0, 8 1^{t}$	$m (t)$
1	$0, 81$	$3, 24$
2	$0, 656$	$2, 625$
3	$0, 531$	$2, 126$
4	$0, 430$	$1, 722$
5	$0, 349$	$1, 395$ ✓

Pierwsze $t$ z $m (t) < 1, 5$ : $t = 5$ .

Alternatywnie — logarytmy:

$t \cdot lo g 0, 81 < lo g 0, 375$

$lo g 0, 81 < 0$ , więc znak nierówności odwraca się:

$t > \frac{l o g 0 , 375}{l o g 0 , 81} = \frac{- 0 , 4260}{- 0 , 0915} \approx 4, 66$

Najmniejsze całkowite $t$ to $5$ .

Po co to umieć

Rozpad procentowy o $p %$ na okres = ciąg geometryczny z $q = 1 - p /100$ . Wzór ogólny: $m (t) = m_{0} \cdot q^{t}$ .

Dla obliczeń wystarczy próbkować kolejne $t$ — często szybsze niż logarytmy. Logarytmy są pewniejsze dla dużych wartości.