Zadanie 2

Treść zadania

Zadanie 2. (0-3)

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\frac{1}{4}$ .

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

$P = \frac{1}{64}$

Schemat Bernoulliego: $P (\geq 4) = P (4) + P (5) = (4 5) (\frac{1}{4})^{4} (\frac{3}{4}) + (5 5) (\frac{1}{4})^{5} = \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}$ .

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: pominięcie przypadku 5 wygranych — „co najmniej 4" obejmuje 4 i 5. Drugi błąd: brak współczynnika dwumianowego $(4 5) = 5$ (zlicza, na które partie wypadają wygrane).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 2 - prawdopodobieństwo (schemat Bernoulliego) — Strona 5 arkusza CKE PR - zadanie 2. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 5

Co zrobić?

Schemat Bernoulliego: $n = 5$ niezależnych prób, $p = \frac{1}{4}$ (sukces = wygrana Tomka), $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ . Szukamy $P (X \geq 4) = P (X = 4) + P (X = 5)$ .

Wzór na prawdopodobieństwo $k$ sukcesów w $n$ próbach:

$P (X = k) = (k n) p^{k} q^{n - k}$

Oblicz $P (X = 4)$ :

$P (X = 4) = (4 5) (\frac{1}{4})^{4} (\frac{3}{4})^{1} = 5 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{1024}$

Oblicz $P (X = 5)$ :

$P (X = 5) = (5 5) (\frac{1}{4})^{5} (\frac{3}{4})^{0} = 1 \cdot \frac{1}{1024} \cdot 1 = \frac{1}{1024}$

Suma:

$P (X \geq 4) = \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}$

Po co to umieć

Schemat Bernoulliego dotyczy ciągu niezależnych prób z dwoma wynikami (sukces/porażka) i stałym prawdopodobieństwem $p$ . Wzór:

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

„Co najmniej $k$ ” = suma wszystkich $P (X = k), P (X = k + 1), \dots, P (X = n)$ .