Zadanie 3

Treść zadania

Zadanie 3. (0-3)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = \frac{3 x ^{2} - 2 x}{x ^{2} + 2 x + 8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Punkt $P = (x_{0}, 3)$ należy do wykresu funkcji $f$ .

Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 3 - pochodna i styczna — Strona 6 arkusza CKE PR - zadanie 3. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 6

Co zrobić?

(1) Znajdź $x_{0}$ z warunku $f (x_{0}) = 3$ . (2) Wylicz pochodną $f^{'} (x_{0})$ — to współczynnik kierunkowy stycznej. (3) Napisz równanie stycznej.

Znajdź $x_{0}$ :

$3 = \frac{3 x _{0}^{2} - 2 x _{0}}{x _{0}^{2} + 2 x _{0} + 8}$

Pomnóż obie strony przez mianownik:

$3 (x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 8) = 3 x_{0}^{2} - 2 x_{0}$ $3 x_{0}^{2} + 6 x_{0} + 24 = 3 x_{0}^{2} - 2 x_{0}$ $8 x_{0} = - 24$ $x_{0} = - 3$

Wylicz pochodną (wzór na iloraz). Oznacz $u = 3 x^{2} - 2 x$ , $v = x^{2} + 2 x + 8$ :

$u^{'} = 6 x - 2 v^{'} = 2 x + 2$

$f^{'} (x) = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Wstaw $x = - 3$ :

$u (- 3) = 27 + 6 = 33, v (- 3) = 9 - 6 + 8 = 11$ $u^{'} (- 3) = - 20, v^{'} (- 3) = - 4$

$f^{'} (- 3) = \frac{( - 20 ) \cdot 11 - 33 \cdot ( - 4 )}{1 1 ^{2}} = \frac{- 220 + 132}{121} = \frac{- 88}{121}$

Skróć ( $121 = 1 1^{2}$ , $88 = 8 \cdot 11$ ):

$f^{'} (- 3) = - \frac{8}{11}$

Wyznacz równanie stycznej. Postać: $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ , czyli $y - 3 = - \frac{8}{11} (x + 3)$ :

$y = - \frac{8}{11} x - \frac{24}{11} + 3 = - \frac{8}{11} x - \frac{24}{11} + \frac{33}{11}$

$y = - \frac{8}{11} x + \frac{9}{11}$

Po co to umieć

Pochodna ilorazu: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .

Styczna do wykresu w punkcie $(x_{0}, y_{0})$ :

współczynnik kierunkowy = $f^{'} (x_{0})$
równanie: $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

To podstawowy schemat dla zadań „znajdź styczną”.

Treść zadania

Zadanie 3. (0-3)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji