Zadanie 4 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PR

Treść zadania

Zadanie 4. (0-3)

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x + y = 4$ i nierówność $x^{3} - x^{2} y \leq x y^{2} - y^{3}$ .

Wykaż, że $x = 2$ oraz $y = 2$ .

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność: $x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3} \leq 0$ → $(x - y)^{2} (x + y) \leq 0$ . Ponieważ $x + y = 4 > 0$ , musi być $(x - y)^{2} \leq 0$ , więc $(x - y)^{2} = 0$ czyli $x = y$ . Z $x + y = 4$ wynika $x = y = 2$ .

Typowy błąd / pułapka

Uwaga: kluczem jest pogrupowanie wyrazów i rozkład na czynniki. Błąd: pominięcie wniosku, że $x + y > 0$ — bez tego $(x - y)^{2} (x + y) \leq 0$ nie wymusza równości.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 4 - dowód algebraiczny — Strona 7 arkusza CKE PR - zadanie 4. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 7

Co zrobić?

Mając dwa warunki — $x + y = 4$ i $x^{3} - x^{2} y \leq x y^{2} - y^{3}$ — pokazać, że jedyne rozwiązanie to $x = y = 2$ .

Przekształć nierówność. Przenieś wszystko na lewo:

$x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3} \leq 0$

Pogrupuj wyrazy po dwa:

$x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) \leq 0$

$(x - y) (x^{2} - y^{2}) \leq 0$

Rozłóż $x^{2} - y^{2}$ na czynniki:

$x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$

Stąd:

$(x - y) (x - y) (x + y) \leq 0$

$(x - y)^{2} (x + y) \leq 0$

Wykorzystaj warunek $x + y = 4$ . Podstaw:

$(x - y)^{2} \cdot 4 \leq 0$

$(x - y)^{2} \leq 0$

Wnioskuj. $(x - y)^{2} \geq 0$ dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jedyną możliwością przy $\leq 0$ jest równość:

$(x - y)^{2} = 0 ⟹ x = y$

Z $x = y$ i $x + y = 4$ :

$2 x = 4 ⟹ x = 2 ⟹ y = 2$

Co należało dowieść. ∎

Po co to umieć

Schemat dowodów typu „wykaż, że $x = a, y = b$ ” można oprzeć na grupowaniu i nieujemności kwadratu. Klucz:

Przekształć nierówność do postaci „suma kwadratów ≤ 0” lub „kwadrat razy coś > 0 ≤ 0”.
Wnioskuj, że każdy kwadrat = 0.
Z dodatkowego warunku wylicz konkretne wartości.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „dowód, grupowanie wyrazów, nierówność z kwadratem” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl