Zadanie 5

Treść zadania

Zadanie 5. (0-3)

Dany jest trójkąt prostokątny $A BC$ , w którym $∣∠ A BC ∣ = 90°$ oraz $∣∠ C A B ∣ = 60°$ . Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach — odpowiednio — $A B$ i $BC$ tak, że $∣ B K ∣ = ∣ B L ∣ = 1$ (zobacz rysunek). Odcinek $K L$ przecina wysokość $B D$ tego trójkąta w punkcie $N$ , a ponadto $∣ A D ∣ = 2$ .

Wykaż, że $∣ N D ∣ = 3 + 1$ .

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Rozwiązanie w układzie współrzędnych: $B = (0, 0)$ , $A = (0, 4)$ , $C = (43, 0)$ . Wtedy $K = (0, 1)$ , $L = (1, 0)$ , $D = (3, 3)$ , $N = (\frac{3 - 1}{2}, \frac{3 - 3}{2})$ .

$∣ N D ∣^{2} = (\frac{3 + 1}{2})^{2} (1 + 3) = (3 + 1)^{2}$ , więc $∣ N D ∣ = 3 + 1$ . ∎

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: pomylenie boków w trójkącie 30-60-90. Stosunki: naprzeciw 30° → naprzeciw 60° → naprzeciw 90° to $1 : 3 : 2$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 5 - trójkąt 30-60-90, dowód |ND| — Strona 8 arkusza CKE PR - zadanie 5. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 8

Co zrobić?

Wykazać, że $∣ N D ∣ = 3 + 1$ , gdzie $N$ to przecięcie odcinka $K L$ z wysokością $B D$ .

Ustaw układ współrzędnych. Niech $B = (0, 0)$ , $A$ na osi $y$ , $C$ na osi $x$ (bo $∠ A BC = 90°$ ).

W trójkącie $A B D$ ( $∠ A D B = 90°$ , $∠ D A B = 60°$ ): $A D = 2 = A B \cdot cos 60° = A B /2$ , czyli $A B = 4$ .

Z trójkąta 30-60-90 z $A B = 4$ : $BC = A B \cdot tan 60° = 43$ , $A C = 2 \cdot A B = 8$ .

Stąd: $A = (0, 4)$ , $C = (43, 0)$ .

Wyznacz $K, L$ . $K$ na $A B$ z $B K = 1$ → $K = (0, 1)$ . $L$ na $BC$ z $B L = 1$ → $L = (1, 0)$ .

Prosta $K L$ : $x + y = 1$ .

Wyznacz prostą $B D$ . Prosta $A C$ : $y = 4 - \frac{x}{3}$ (współczynnik $- \frac{1}{3}$ ).

Prostopadła z $B = (0, 0)$ : współczynnik $3$ , czyli $y = 3 x$ .

Wyznacz $D = A C \cap B D$ :

$3 x = 4 - \frac{x}{3} ⟹ 3 x = 43 - x ⟹ x = 3, y = 3$

$D = (3, 3)$ .

Wyznacz $N = K L \cap B D$ :

$x + 3 x = 1 ⟹ x = \frac{1}{1 + 3} = \frac{3 - 1}{2}$

$y = 3 x = \frac{3 - 3}{2}$

$N = (\frac{3 - 1}{2}, \frac{3 - 3}{2})$ .

Oblicz $∣ N D ∣$ :

$D - N = (3 - \frac{3 - 1}{2}, 3 - \frac{3 - 3}{2}) = (\frac{3 + 1}{2}, \frac{3 + 3}{2})$

Druga współrzędna: $\frac{3 + 3}{2} = \frac{3 ( 3 + 1 )}{2}$ — wspólny czynnik $\frac{3 + 1}{2}$ :

$∣ N D ∣^{2} = (\frac{3 + 1}{2})^{2} (1 + 3) = (\frac{3 + 1}{2})^{2} \cdot 4 = (3 + 1)^{2}$

$∣ N D ∣ = 3 + 1$

Co należało dowieść. ∎

Po co to umieć

Dowody geometryczne na PR często są szybsze w układzie współrzędnych niż klasycznie. Klucz: ustaw układ tak, by jeden wierzchołek był w $(0, 0)$ , a osie pokrywały się z prostopadłymi bokami.

W trójkącie 30-60-90 ze stosunkami $1 : 3 : 2$ wszystkie funkcje trygonometryczne są łatwo wyznaczalne: $sin 30° = 1/2$ , $cos 30° = 3 /2$ , $tan 30° = 1/ 3$ itp.