Zadanie 6

Rozwiązanie

$x = - \frac{π}{12} + kπ$ lub $x = \frac{7 π}{12} + kπ$ dla $k \in Z$ (równoważnie, jak w zasadach oceniania CKE: $x = \frac{7 π}{12} + kπ$ lub $x = \frac{11 π}{12} + kπ$ ).

Krok kluczowy: $2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)$ , więc $4 sin (4 x) cos (6 x) = 2 sin (10 x) - 2 sin (2 x)$ . Po skróceniu: $sin (2 x) = - \frac{1}{2}$ .

Typowy błąd / pułapka

Uwaga: bez zamiany iloczynu $sin A cos B$ na sumę sinusów trudno uprościć równanie. Klucz: zauważyć, że $sin (10 x)$ pojawia się po obu stronach i można je skrócić po zastosowaniu wzoru.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 6 - równanie trygonometryczne — Strona 10 arkusza CKE PR - zadanie 6. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 10

Co zrobić?

Zastosuj wzór $2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)$ . Tutaj $A = 4 x$ , $B = 6 x$ :

$4 sin (4 x) cos (6 x) = 2 \cdot [2 sin (4 x) cos (6 x)] = 2 [sin (10 x) + sin (- 2 x)]$

$= 2 sin (10 x) - 2 sin (2 x)$

(bo $sin (- 2 x) = - sin (2 x)$ )

Wstaw do równania:

$2 sin (10 x) - 2 sin (2 x) = 2 sin (10 x) + 1$

Skróć $2 sin (10 x)$ po obu stronach:

$- 2 sin (2 x) = 1$

$sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Rozwiąż $sin u = - \frac{1}{2}$ (gdzie $u = 2 x$ ). Rozwiązania:

$u = - \frac{π}{6} + 2 kπ lub u = π + \frac{π}{6} + 2 kπ = \frac{7 π}{6} + 2 kπ$

Podziel przez $2$ :

$x = - \frac{π}{12} + kπ lub x = \frac{7 π}{12} + kπ, k \in Z$

Po co to umieć

Wzory iloczynowe trygonometrii:

$2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)$
$2 cos A cos B = cos (A - B) + cos (A + B)$
$2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)$

Karta „Wybrane wzory matematyczne” CKE podaje je w postaci $sin α \cdot cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]$ itd. Gdy widzisz iloczyn $sin cos$ z różnymi kątami, warto przejść do sumy za pomocą tych wzorów.

Treść zadania

Zadanie 6. (0-3)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji