Zadanie 10

Treść zadania

Zadanie 10. (0-4)

Określamy kwadraty $K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots$ następująco:

$K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$
$K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$
$K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ , $K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n - 1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$ .

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Suma: $S = \frac{8 a ( 4 + 10 )}{3}$

Bok $K_{2}$ z Pitagorasa: $(a /4)^{2} + (3 a /4)^{2} = \frac{a 10}{4}$ . Iloraz $q = \frac{10}{4}$ . Suma szeregu geom.: $S = \frac{4 a}{1 - 10 /4} = \frac{16 a}{4 - 10} = \frac{8 a ( 4 + 10 )}{3}$ .

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: liczenie pól zamiast obwodów. Iloraz pól = $q_{p o l e}^{2} = (\frac{10}{4})^{2} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$ . Treść mówi o obwodach.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 10 - szereg geometryczny z kwadratów — Strona 16 arkusza CKE PR - zadanie 10. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 16

Co zrobić?

Wyznacz bok $K_{2}$ . Każdy wierzchołek $K_{2}$ leży na boku $K_{1}$ i dzieli go w stosunku $1 : 3$ . Czyli odcinki to $\frac{a}{4}$ i $\frac{3 a}{4}$ .

Bok $K_{2}$ to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $\frac{a}{4}$ i $\frac{3 a}{4}$ :

$b_{2} = (\frac{a}{4})^{2} + (\frac{3 a}{4})^{2} = \frac{a ^{2} + 9 a ^{2}}{16} = \frac{10 a ^{2}}{16} = \frac{a 10}{4}$

Wyznacz iloraz obwodów. Obwód $K_{n} = 4 b_{n}$ , więc:

$q = \frac{L _{2}}{L _{1}} = \frac{4 \cdot a 10 /4}{4 a} = \frac{10}{4}$

Sprawdzenie: $\frac{10}{4} \approx 0, 79 < 1$ , więc szereg jest zbieżny.

Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego (przy $∣ q ∣ < 1$ ):

$S = \frac{L _{1}}{1 - q}$

$S = \frac{4 a}{1 - \frac{10}{4}} = \frac{4 a}{\frac{4 - 10}{4}} = \frac{16 a}{4 - 10}$

Racjonalizacja mianownika: pomnóż licznik i mianownik przez $4 + 10$ :

$S = \frac{16 a ( 4 + 10 )}{( 4 - 10 ) ( 4 + 10 )} = \frac{16 a ( 4 + 10 )}{16 - 10} = \frac{16 a ( 4 + 10 )}{6}$

$S = \frac{8 a ( 4 + 10 )}{3}$

Po co to umieć

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:

$S = \frac{a _{1}}{1 - q} dla ∣ q ∣ < 1$

Typowy schemat zadań o „nieskończonej spirali figur”:

Wyznacz parametr drugiej figury (z Pitagorasa lub trygonometrii).
Iloraz tego parametru = $q$ ciągu.
Suma = $\frac{a _{1}}{1 - q}$ .
Racjonalizuj mianownik (jeśli pierwiastek).