Zadanie 9

Rozpoznaj kwadraty pełne pod pierwiastkami.

$x^2+4x+4=(x+2{)}^2⟹\sqrt{(x+2{)}^2}=|x+2|$

$x^2-6x+9=(x-3{)}^2⟹\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|$

Nierówność przyjmuje postać:

$|x+2|+|x-3|<\frac{25}{3}$

Rozpatrz 3 przypadki znaków modułów (krytyczne punkty: $x=-2$ i $x=3$).

Przypadek 1: $x<-2$. Wtedy $|x+2|=-(x+2)$, $|x-3|=3-x$:

$-(x+2)+(3-x)=-2x+1<\frac{25}{3}$ $-2x<\frac{22}{3}⟹x>-\frac{11}{3}$

Razem z $x<-2$: $-\frac{11}{3}<x<-2$.

Przypadek 2: $-2\le x<3$. Wtedy $|x+2|=x+2$, $|x-3|=3-x$:

$(x+2)+(3-x)=5$

$5<\frac{25}{3}$? $5=\frac{15}{3}<\frac{25}{3}$ ✓

Cały przedział $-2\le x<3$ jest rozwiązaniem.

Przypadek 3: $x\ge 3$. Wtedy $|x+2|=x+2$, $|x-3|=x-3$:

$(x+2)+(x-3)=2x-1<\frac{25}{3}$ $2x<\frac{28}{3}⟹x<\frac{14}{3}$

Razem z $x\ge 3$: $3\le x<\frac{14}{3}$.

Zbierz wszystkie przedziały:

$\left(-\frac{11}{3},-2\right)\cup [-2,3)\cup \left[3,\frac{14}{3}\right)=\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right)$