Zadanie 8

Treść zadania

Zadanie 8. (0-4)

Czworokąt $A BC D$ , w którym $∣ BC ∣ = 4$ i $∣ C D ∣ = 5$ , jest opisany na okręgu. Przekątna $A C$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60°$ , natomiast z bokiem $A B$ — kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$ .

Oblicz obwód czworokąta $A BC D$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Obwód: $163 + 10$

Z twierdzenia sinusów w $△ A BC$ : $A B = \frac{4 s i n 60°}{s i n α} = \frac{4 \cdot 3 /2}{1/4} = 83$ . Z własności czworokąta opisanego: $A D = A B + C D - BC = 83 + 5 - 4 = 83 + 1$ . Obwód = $A B + BC + C D + D A = 83 + 4 + 5 + 83 + 1 = 163 + 10$ .

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd: pomylenie czworokąta opisanego (boki styczne do okręgu wewnętrznego) z wpisanym (wierzchołki na okręgu). Własności są różne! Opisany: $A B + C D = BC + A D$ . Wpisany: $∠ A + ∠ C = 180°$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 8 - czworokąt opisany na okręgu — Strona 12 arkusza CKE PR - zadanie 8. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 12

Co zrobić?

Skorzystaj z twierdzenia sinusów w $△ A BC$ :

$∠ A CB = 60°$ , $∠ B A C = α$ ( $sin α = \frac{1}{4}$ ), $∣ BC ∣ = 4$ .

$\frac{BC}{s i n ∠ B A C} = \frac{A B}{s i n ∠ A CB}$

$\frac{4}{1/4} = \frac{A B}{3 /2}$

$16 = \frac{2 \cdot A B}{3} ⟹ A B = 83$

Wykorzystaj własność czworokąta opisanego na okręgu. Sumy długości boków przeciwległych są równe:

$A B + C D = BC + A D$

$83 + 5 = 4 + A D ⟹ A D = 83 + 1$

Obwód:

$L = A B + BC + C D + A D$

$= 83 + 4 + 5 + 83 + 1$

$= 163 + 10$

Po co to umieć

Twierdzenie Pitota dla czworokąta opisanego: $A B + C D = BC + A D$ .

Twierdzenie sinusów w trójkącie: $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ (R - promień okręgu opisanego).

Klasyczne zadanie PR — łączenie własności czworokąta z trygonometrią trójkąta utworzonego przez przekątną.