Zadanie 7 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PR

Treść zadania

Zadanie 7. (0-4)

Dany jest sześcian $A BC D EFG H$ o krawędzi długości $6$ . Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $A H$ i $D E$ ściany bocznej $A DH E$ (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta $SB H$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $B H$ tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Sześcian ABCDEFGH o krawędzi 6 z przekątnymi AH i DE ściany bocznej ADHE przecinającymi się w punkcie S. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305 Oryginalny PDF CKE, str. 11

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

$h = 6$

Krawędź $A B$ jest prostopadła do ściany $A DH E$ , więc trójkąt $A B H$ jest prostokątny ( $∣∠ B A H ∣ = 90°$ ): $∣ A B ∣ = 6$ , $∣ A H ∣ = 62$ , $∣ B H ∣ = 63$ . Punkt $S$ jest środkiem $A H$ , więc $∣ S H ∣ = 32$ . Wysokość z $S$ na $B H$ : $h = ∣ S H ∣ \cdot sin ∣∠ A H B ∣ = 32 \cdot \frac{6}{6 3} = 6$ . Pole $△ SB H = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot 6 = 92$ .

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd: założenie, że trójkąt $SB H$ jest prostokątny lub równoramienny. Sprawdź boki: $∣ SB ∣ = 36$ , $∣ S H ∣ = 32$ , $∣ B H ∣ = 63$ — to trójkąt różnoboczny.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 7 - sześcian, wysokość trójkąta SBH — Strona 11 arkusza CKE PR - zadanie 7. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 11

Co zrobić?

Ustaw układ współrzędnych. Wierzchołki sześcianu:

$A = (0, 0, 0)$ , $B = (6, 0, 0)$ , $C = (6, 6, 0)$ , $D = (0, 6, 0)$
$E = (0, 0, 6)$ , $F = (6, 0, 6)$ , $G = (6, 6, 6)$ , $H = (0, 6, 6)$

$S$ = przecięcie przekątnych ściany $A DH E$ = środek ściany: $S = (0, \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 6}{2}) = (0, 3, 3)$ .

Oblicz długość $∣ B H ∣$ (podstawa trójkąta):

$∣ B H ∣ = (6 - 0)^{2} + (0 - 6)^{2} + (0 - 6)^{2} = 108 = 63$

Oblicz pole $△ SB H$ z iloczynu wektorowego:

$SB = B - S = (6, - 3, - 3)$ $S H = H - S = (0, 3, 3)$

$SB \times S H = (0, - 18, 18)$

$∣ SB \times S H ∣ = 0 + 324 + 324 = 648 = 182$

$P_{△ SB H} = \frac{1}{2} \cdot 182 = 92$

Wysokość z $S$ na $B H$ :

$P = \frac{1}{2} \cdot ∣ B H ∣ \cdot h$

$92 = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot h ⟹ h = \frac{18 2}{6 3} = \frac{3 2}{3} = 6$

Po co to umieć

W 3D do odległości punktu od prostej najszybciej jest przez pole trójkąta: $d = \frac{2 \cdot P _{△}}{∣ bok ∣}$

Pole z iloczynu wektorowego: $P = \frac{1}{2} ∣ u \times v ∣$ . Uwaga: iloczyn wektorowy nie należy do wymagań podstawy programowej. Na egzaminie to samo pole policzysz bez niego — zasady oceniania CKE pokazują m.in. podobieństwo trójkątów $P H S$ i $A H B$ oraz porównanie pól trójkątów.