Zadanie 11

Rozwiązanie

$m \in (\frac{11}{5}, \frac{9}{4})$

Wzory Viety: $x_{1} + x_{2} = - 4$ , $x_{1} x_{2} = - \frac{m - 3}{m - 2}$ .

Warunki: (1) $Δ > 0$ → $\frac{5 m - 11}{m - 2} > 0$ → $m < 2$ lub $m > \frac{11}{5}$ ; (2) $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) [(x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2}] > - 28$ → $x_{1} x_{2} > 3$ → $\frac{4 m - 9}{m - 2} < 0$ → $2 < m < \frac{9}{4}$ . Część wspólna: $\frac{11}{5} < m < \frac{9}{4}$ .

Typowy błąd / pułapka

Błąd: pominięcie warunku $Δ > 0$ . Sam warunek na $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ daje $2 < m < 9/4$ , ale dla $m \in (2, 11/5 ⟩$ równanie nie ma dwóch różnych rozwiązań rzeczywistych ( $Δ \leq 0$ ) — trzeba te wartości wykluczyć. Wg zasad oceniania CKE rozwiązanie warunku $Δ \geq 0$ daje 0 punktów za ten etap.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 11 - równanie kwadratowe z parametrem — Strona 18 arkusza CKE PR - zadanie 11. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 18

Co zrobić?

Trzy warunki: (1) $m \neq = 2$ (dziedzina), (2) $Δ > 0$ (dwa różne rozwiązania), (3) $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 28$ .

Wzory Viety. Dla $x^{2} + 4 x + c = 0$ z $c = - \frac{m - 3}{m - 2}$ :

$x_{1} + x_{2} = - 4, x_{1} x_{2} = - \frac{m - 3}{m - 2}$

Warunek $Δ > 0$ :

$Δ = 16 - 4 \cdot (- \frac{m - 3}{m - 2}) = 16 + \frac{4 ( m - 3 )}{m - 2}$

$= \frac{16 ( m - 2 ) + 4 ( m - 3 )}{m - 2} = \frac{20 m - 44}{m - 2} = \frac{4 ( 5 m - 11 )}{m - 2}$

$Δ > 0 ⟺ \frac{5 m - 11}{m - 2} > 0 ⟺ m < 2$ lub $m > \frac{11}{5}$ .

Wyraź $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ przez Viete’a:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) [(x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2}]$

$= - 4 \cdot [16 - 3 \cdot x_{1} x_{2}] = - 64 + 12 x_{1} x_{2}$

Warunek: $- 64 + 12 x_{1} x_{2} > - 28 ⟺ x_{1} x_{2} > 3$ .

Rozwiąż $- \frac{m - 3}{m - 2} > 3$ :

$\frac{m - 3}{m - 2} < - 3 ⟺ \frac{m - 3 + 3 ( m - 2 )}{m - 2} < 0 ⟺ \frac{4 m - 9}{m - 2} < 0$

Zerówki: $m = \frac{9}{4}$ i $m = 2$ . Iloraz $< 0$ ⟺ $2 < m < \frac{9}{4}$ .

Część wspólna obu warunków:

$Δ > 0$ : $m < 2$ lub $m > \frac{11}{5}$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 28$ : $2 < m < \frac{9}{4}$

Przecięcie: $\frac{11}{5} < m < \frac{9}{4}$ .

Po co to umieć

Wzory Viete’a dla $a x^{2} + b x + c = 0$ z rozwiązaniami $x_{1}, x_{2}$ :

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$
$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

Pozwalają wyrazić dowolne symetryczne wyrażenie $x_{1}, x_{2}$ przez współczynniki, bez liczenia samych pierwiastków.

Wyrażenia symetryczne:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = (x_{1} + x_{2}) [(x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2}]$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$

Treść zadania

Zadanie 11. (0-5)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji