Zadanie 13 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2023, PR

Treść zadania

Zadanie 13. (0-6)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta $l$ o równaniu $x - y - 2 = 0$ przecina parabolę o równaniu $y = 4 x^{2} - 7 x + 1$ w punktach $A$ oraz $B$ . Odcinek $A B$ jest średnicą okręgu $O$ . Punkt $C$ leży na okręgu $O$ nad prostą $l$ , a kąt $B A C$ jest ostry i ma miarę $α$ taką, że $t g α = \frac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu $C$ . Zapisz obliczenia.

Parabola y = 4x² − 7x + 1 i prosta l: x − y − 2 = 0 przecinające się w punktach A i B, okrąg 𝒪 o średnicy AB z punktem C i kątem α przy wierzchołku A. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305 Oryginalny PDF CKE, str. 22

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

$C = (\frac{11}{10}, - \frac{3}{10})$

Z układu prostej i paraboli: $A = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ , $B = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$ ( $A$ to punkt o mniejszej pierwszej współrzędnej — tak jak na rysunku w arkuszu CKE). Z tw. Talesa (AB średnica) → $∠ A CB = 90°$ . W trójkącie prostokątnym ACB: $∣ A B ∣ = 2$ , $tan α = BC / A C = 1/3$ → $A C = \frac{3}{5}$ , $BC = \frac{1}{5}$ . Wektory: $\hat{A B} = \frac{1}{2} (1, 1)$ , prostopadła w górę $= \frac{1}{2} (- 1, 1)$ . $C = A + A C cos α \cdot \hat{A B} + A C sin α \cdot \overset{n}{^}$ daje $C = (1, 1; - 0, 3)$ .

Typowy błąd / pułapka

Błąd: pominięcie warunku „nad prostą” — kąt $α$ wyznacza dwa możliwe położenia $C$ (po obu stronach AB). Z treści wynika, że $C$ leży nad prostą $l$ . Wg zasad oceniania CKE pozostawienie drugiego punktu bez odrzucenia daje 5 punktów zamiast 6.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 13 - parabola, prosta, okrąg, kąt wpisany — Strona 22 arkusza CKE PR - zadanie 13. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 22

Co zrobić?

Znajdź A i B (przecięcie prostej z parabolą). Z $l$ : $y = x - 2$ . Wstaw do paraboli:

$x - 2 = 4 x^{2} - 7 x + 1 ⟺ 4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

$Δ = 64 - 48 = 16$ , $x = \frac{8 \pm 4}{8}$ , czyli $x = \frac{1}{2}$ lub $x = \frac{3}{2}$ .

$A = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2}), B = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

$∣ A B ∣$ i twierdzenie Talesa. AB to średnica okręgu, więc dla każdego $C$ na okręgu:

$∠ A CB = 90°$

Długość: $∣ A B ∣ = 1^{2} + 1^{2} = 2$ .

Trójkąt prostokątny ACB. $tan α = \frac{BC}{A C} = \frac{1}{3} ⟹ A C = 3 BC$ .

Z Pitagorasa: $A C^{2} + B C^{2} = 2 ⟹ 9 B C^{2} + B C^{2} = 2 ⟹ BC = \frac{1}{5}, A C = \frac{3}{5}$ .

Wyznacz $cos α, sin α$ . Z $tan α = 1/3$ i $α$ ostry: hipotenuza pomocnicza $10$ , więc $cos α = \frac{3}{10}$ , $sin α = \frac{1}{10}$ .

Wektor jednostkowy wzdłuż AB: $\hat{A B} = \frac{1}{2} (1, 1)$ .

Wektor prostopadły, skierowany w górę (z $y > 0$ ): $\overset{n}{^} = \frac{1}{2} (- 1, 1)$ .

Wyznacz $C$ z dekompozycji wektora $A C$ :

$A C = A C cos α \cdot \hat{A B} + A C sin α \cdot \overset{n}{^}$

Komponenty:

$A C cos α = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{50} = \frac{9}{5 2}$
$A C sin α = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{5 2}$

Wkład w x: $\frac{9}{5 2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{5 2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9 - 3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Wkład w y: $\frac{9}{5 2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5 2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9 + 3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$C = A + (\frac{3}{5}, \frac{6}{5}) = (\frac{1}{2} + \frac{3}{5}, - \frac{3}{2} + \frac{6}{5}) = (\frac{11}{10}, - \frac{3}{10})$

Po co to umieć

Twierdzenie Talesa (kąt wpisany oparty na średnicy = 90°) to klucz do zadań „okrąg + średnica + punkt na okręgu”.

Geometria analityczna 2D — dekompozycja wektora na kierunek równoległy + prostopadły. Niezbędne w zadaniach typu „znajdź punkt $C$ jeśli…”.