Zadanie 12

Zadanie 12

Matura z matematyki, maj 2023, poziom rozszerzony

Wymaganie:

12.1: I.R1 — wzór na zamianę podstawy logarytmu; I.9 — związek logarytmowania z potęgowaniem, logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. 12.2: XIII.R3 — obliczanie pochodnej; XIII.R4 — badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej.

Treść zadania

Zadanie 12.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

$f (x) = 8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x$

dla każdej liczby dodatniej $x$ .

Zadanie 12.1. (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie

$8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x$

można równoważnie przekształcić do postaci $x^{4} + x^{2} - 6 x$ .

Zadanie 12.2. (0-4)

Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$ . Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f (x) = x^{4} + x^{2} - 6 x$ .

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2305. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

12.1. $8 1^{l o g_{3} x} = (3^{4})^{l o g_{3} x} = 3^{4 l o g_{3} x} = x^{4}$ . $\frac{2 l o g _{2} 27 \cdot l o g _{3} 2}{3} = \frac{3 l o g _{2} 3 \cdot l o g _{3} 2}{3} = \frac{3 \cdot 1}{3} = 1$ . Stąd $f (x) = x^{4} + x^{2} - 6 x$ .

12.2. $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 x - 6 = 2 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x + 3)$ . Pierwiastek $x = 1$ (drugi czynnik $Δ < 0$ — bez pierwiastków). Dla $x \in (0, 1)$ mamy $f^{'} (x) < 0$ , a dla $x > 1$ mamy $f^{'} (x) > 0$ , więc $f$ maleje w $(0, 1]$ i rośnie w $[1, + \infty)$ . Najmniejsza wartość: $f (1) = 1 + 1 - 6 = - 4$ .

Typowy błąd / pułapka

Typowy błąd w 12.1: zapomnienie własności $a^{l o g_{a} b} = b$ i $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ . W 12.2: brak sprawdzenia że $2 x^{2} + 2 x + 3$ nie ma pierwiastków ( $Δ = 4 - 24 = - 20 < 0$ ).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 12 - logarytmy + ekstrema — Strona 20 arkusza CKE PR - zadanie 12. Na podstawie: CKE 2023 PR Oryginalny PDF CKE, str. 20

Co zrobić?

Zadanie 12.1: Uprość wyrażenie

Pierwszy składnik: $8 1^{l o g_{3} x}$

$81 = 3^{4}$ , więc $8 1^{l o g_{3} x} = (3^{4})^{l o g_{3} x} = 3^{4 l o g_{3} x} = 3^{l o g_{3} x^{4}} = x^{4}$

(skorzystaliśmy z $4 lo g_{3} x = lo g_{3} x^{4}$ i $a^{l o g_{a} b} = b$ )

Drugi składnik: $\frac{2 l o g _{2} 27 \cdot l o g _{3} 2}{3}$

$27 = 3^{3/2}$ , więc $lo g_{2} 27 = \frac{3}{2} lo g_{2} 3$ .

Wstaw: $\frac{2 \cdot \frac{3}{2} l o g _{2} 3 \cdot l o g _{3} 2}{3} = \frac{3 \cdot l o g _{2} 3 \cdot l o g _{3} 2}{3}$

Zastosuj $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ : $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3} = 1$

Podsumowanie:

$f (x) = x^{4} + 1 \cdot x^{2} - 6 x = x^{4} + x^{2} - 6 x ■$

Zadanie 12.2: Znajdź najmniejszą wartość

Policz pochodną $f^{'} (x)$ :

$f^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 x - 6$

Rozłóż $f^{'}$ . Zauważ, że $f^{'} (1) = 4 + 2 - 6 = 0$ . Czyli $x = 1$ jest pierwiastkiem. Podziel przez $(x - 1)$ :

$4 x^{3} + 2 x - 6 = (x - 1) (4 x^{2} + 4 x + 6) = 2 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x + 3)$

Sprawdź $2 x^{2} + 2 x + 3$ . $Δ = 4 - 24 = - 20 < 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych. Wyraz $> 0$ dla wszystkich $x$ .

Znak $f^{'} (x)$ : $2 (x - 1) \cdot (dodatnie)$ . Czyli $f^{'} (x) > 0 ⟺ x > 1$ , $f^{'} (x) < 0 ⟺ x < 1$ . To znaczy:

$f$ maleje na $(0, 1)$
$f$ rośnie na $(1, + \infty)$

Funkcja maleje na $(0, 1]$ i rośnie na $[1, + \infty)$ , więc najmniejszą wartość przyjmuje dla $x = 1$ : $f (1) = 1 + 1 - 6 = - 4$ .

Po co to umieć

Trzy własności logarytmów użyte w tym zadaniu:

$a^{l o g_{a} b} = b$ (definicja)
$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$
$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ (zmiana podstawy)

Algorytm znajdowania ekstremów: $f^{'} (x) = 0$ , znajdź pierwiastki, sprawdź zmianę znaku pochodnej (z $-$ na $+$ → minimum; z $+$ na $-$ → maksimum).