Zadanie 1

Treść zadania

W chwili początkowej ( $t = 0$ ) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80 ° C$ . Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20 ° C$ . Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

$T (t) = (T_{p} - T_{z}) \cdot k^{- t} + T_{z} dla t \geq 0$

gdzie:

$T$ — temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$t$ — czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
$T_{p}$ — temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$T_{z}$ — temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
$k$ — stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65 ° C$ .

Zadanie 1. (0–2)

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAR-R0-100. Otwórz oryginalny PDF

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 1 - strona 4 arkusza CKE — Strona 4 arkusza CKE z trescia zadania 1. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 4

Co wiemy?

Wzór modelu stygnięcia (prawo Newtona):

$T (t) = (T_{p} - T_{z}) \cdot k^{- t} + T_{z} = 60 \cdot k^{- t} + 20$

Z warunku $T (10) = 65$ :

$65 = 60 \cdot k^{- 10} + 20 \Rightarrow k^{- 10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

To jedyna informacja, jakiej potrzebujemy o $k$ . Nie obliczamy samego $k$ — pracujemy bezpośrednio z $k^{- 10}$ .

Zapisz $T (15)$ używając wykładnika $- 15$ .

$T (15) = 60 \cdot k^{- 15} + 20$

Zauważ, że $k^{- 15} = k^{- 10} \cdot k^{- 5}$ , oraz $k^{- 5} = k^{- 10}$ (bo $(k^{- 5})^{2} = k^{- 10}$ , a $k^{- 5} > 0$ ).

$k^{- 15} = k^{- 10} \cdot k^{- 10} = (k^{- 10})^{1, 5}$

Podstaw $k^{- 10} = \frac{3}{4}$ :

$T (15) = 60 \cdot (\frac{3}{4})^{1, 5} + 20$

Rozłóż $(\frac{3}{4})^{1, 5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$ :

$T (15) = 60 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} + 20 = \frac{45 3}{2} + 20$

Oblicz przybliżenie. $3 \approx 1, 732$ :

$\frac{45 \cdot 1 , 732}{2} + 20 \approx \frac{77 , 94}{2} + 20 \approx 38, 97 + 20 \approx 58, 97$

Po zaokrągleniu do jedności: $T (15) \approx 59$ °C.

Sposób alternatywny — start z $t = 10$

Można potraktować chwilę $t = 10$ jako „nowy start” z $T_{p}^{'} = 65$ i policzyć $T (5)$ od tego momentu:

$T (10 + 5) = (65 - 20) \cdot k^{- 5} + 20 = 45 \cdot \frac{3}{4} + 20 = 45 \cdot \frac{3}{2} + 20 \approx 59 °C$

Ten sam wynik, mniej algebry.

Punktacja CKE

1 pkt — obliczenie $k^{- 10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ .
2 pkt — pełna metoda + wynik zaokrąglony: $T (15) \approx 59$ °C.

Klucz — kiedy używać prawa Newtona

Każde zadanie typu „stygnięcie / nagrzewanie / spadek aktywności radioaktywnej / zanikanie leku w krwi” sprowadza się do tego samego schematu wykładniczego $T (t) = A \cdot k^{- t} + B$ . Trik to wyciągnięcie $k^{- T}$ (gdzie $T$ to znany moment) i wyrażenie szukanej wartości jako jego potęgi. Nigdy nie musisz wyciągać samego $k$ — pracuj z $k^{- T}$ jako blokiem.

Treść zadania

Zadanie 1. (0–2)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Co wiemy?

Sposób alternatywny — start z $t = 10$

Punktacja CKE

Klucz — kiedy używać prawa Newtona

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Zadanie 1. (0–2)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Co wiemy?

Sposób alternatywny — start z t=10

Punktacja CKE

Klucz — kiedy używać prawa Newtona

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Sposób alternatywny — start z $t = 10$