Matura matematyki, maj 2024

W chwili początkowej ($t = 0$) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura kawy jest równa 80 °C. Temperatura otoczenia jest stała i równa 20 °C. Temperatura $T$ kawy zmienia się zgodnie z zależnością $T(t) = (T_p - T_z) \cdot k^{-t} + T_z$, gdzie $T_p = 80$, $T_z = 20$, $k$ — stała. Po 10 minutach kawa ostygła do 65 °C. Oblicz temperaturę po kolejnych 5 minutach (czyli $T(15)$).

Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2}$.

W zakładzie mleczarskim śmietana jest produkowana w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrane opakowanie zawiera mniej niż 36% tłuszczu, wynosi $0{,}01$. Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie **co najwyżej jedno** opakowanie ze śmietaną zawierającą mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zaokrąglij do części tysięcznych.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x}$ dla każdego $x \neq 0$. Punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej $2$, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y = ax + b$ jest styczna do wykresu $f$ w punkcie $P$. Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$.

Wykaż, że jeżeli $\log_5 4 = a$ oraz $\log_4 3 = b$, to $\log_{12} 80 = \dfrac{2a + 1}{a \cdot (1 + b)}$.

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym **nie powtarza się żadna cyfra** oraz **dokładnie trzy** cyfry są nieparzyste i **dokładnie dwie** cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest takich liczb.

Trzywyrazowy ciąg $(x, y, z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x$, $y$ oraz $z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Oblicz $x$, $y$ oraz $z$.

Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek $|AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \cdot |BC|$.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$. Przekątna $BD$ przecina się z odcinkiem $AE$ w punkcie $F$ oraz z przekątną $AC$ w punkcie $G$. Trójkąt $ACE$ jest dzielony przez te dwa przecięcia na dwie figury: trójkąt $AGF$ oraz czworokąt $CEFG$. Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$.

Rozwiąż równanie $\sin(4x) - \sin(2x) = 4\cos^2 x - 3$ w zbiorze $[0, 2\pi]$.