Zadanie 13

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 13 - strona 23 arkusza CKE — Strona 23 arkusza CKE z trescia zadania 13. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 23

Schemat bryły

Graniastosłup prawidłowy trójkątny to bryła, której podstawy są trójkątami równobocznymi o boku $a$ , a krawędzie boczne (wysokość $H$ ) są prostopadłe do podstaw. Składa się z:

2 trójkątnych podstaw (każda o polu $\frac{a ^{2} 3}{4}$ )
3 prostokątnych ścian bocznych (każda o wymiarach $a \times H$ )

13.1 — wykaż wzór $P (a)$ (2 pkt)

Wyraź wysokość $H$ przez $a$ z warunku objętości.

Objętość graniastosłupa = pole podstawy × wysokość:

$V = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = 3456$

Stąd:

$H = \frac{4 \cdot 3456}{a ^{2} 3} = \frac{13824}{a ^{2} 3}$

Wymnóż licznik i mianownik przez $3$ , żeby pozbyć się pierwiastka z mianownika:

$H = \frac{13824 3}{3 a ^{2}} = \frac{4608 3}{a ^{2}}$

Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$P = 2 \cdot P_{podstawy} + 3 \cdot P_{\overset{s}{ˊ} ciany bocznej} = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 3 \cdot a \cdot H$

$P = \frac{a ^{2} 3}{2} + 3 a H$

Podstaw $H$ do wzoru:

$P (a) = \frac{a ^{2} 3}{2} + 3 a \cdot \frac{4608 3}{a ^{2}} = \frac{a ^{2} 3}{2} + \frac{13824 3}{a}$

To należało wykazać. $■$

13.2 — znajdź minimum $P (a)$ na $(0, 83]$ (4 pkt)

Treść ogranicza dziedzinę: $0 < a \leq 83$ .

Oblicz pochodną $P^{'} (a)$ . Wzór $(\frac{c}{a})^{'} = - \frac{c}{a ^{2}}$ dla stałego $c$ , więc:

$P^{'} (a) = (\frac{a ^{2} 3}{2})^{'} + (\frac{13824 3}{a})^{'} = a 3 - \frac{13824 3}{a ^{2}}$

Wyznacz miejsca zerowe pochodnej. Rozwiąż $P^{'} (a) = 0$ dla $a > 0$ :

$a 3 - \frac{13824 3}{a ^{2}} = 0$

Pomnóż przez $\frac{a ^{2}}{3}$ :

$a^{3} - 13824 = 0 \Rightarrow a^{3} = 13824 \Rightarrow a = 313824 = 24$

(bo $2 4^{3} = 13824$ ).

Sprawdź, czy $a = 24$ leży w dziedzinie $(0, 83]$ .

$83 \approx 8 \cdot 1, 732 \approx 13, 86$ . Zatem $24 > 83$ → $a = 24$ NIE należy do dziedziny.

Zbadaj znak pochodnej w dziedzinie. Dla $a \in (0, 83]$ mamy $a < 24$ , czyli $a^{3} < 13824$ , czyli:

$a^{3} - 13824 < 0 \Rightarrow P^{'} (a) < 0$

(po pomnożeniu przez $\frac{3}{a ^{2}}$ , co jest dodatnie). Pochodna jest ujemna w całej dziedzinie, więc funkcja $P$ jest malejąca na $(0, 83]$ .

Wniosek: funkcja malejąca na przedziale domkniętym z prawej strony przyjmuje wartość najmniejszą w prawej granicy, czyli dla:

$a = 83$

Oblicz $P (83)$ .

$P (83) = \frac{( 8 3 ) ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{8 3}$

Pierwszy człon: $(83)^{2} = 64 \cdot 3 = 192$ , więc $\frac{192 3}{2} = 963$ .

Drugi człon: $\frac{13824 3}{8 3} = \frac{13824}{8} = 1728$ .

$P_{m i n} = 963 + 1728$

Punktacja CKE

13.1 (2 pkt):

1 pkt — wyznaczenie $H = \frac{13824}{a ^{2} 3}$ (lub równoważnej postaci).
2 pkt — pełne wyprowadzenie wzoru $P (a) = \frac{a ^{2} 3}{2} + \frac{13824 3}{a}$ .

13.2 (4 pkt):

1 pkt — wyznaczenie pochodnej $P^{'} (a) = a 3 - \frac{13824 3}{a ^{2}}$ .
2 pkt — poprawne rozwiązanie $P^{'} (a) = 0$ → $a = 24$ (i stwierdzenie, że to nie należy do dziedziny).
3 pkt — uzasadnienie, że funkcja $P$ jest malejąca na $(0, 83]$ → najmniejsza wartość w $a = 83$ , ALBO obliczenie $P (83) = 963 + 1728$ .
4 pkt — pełne rozumowanie: monotoniczność + obliczenie wartości minimum.

Klucz — optymalizacja na zamkniętym przedziale

Procedura dla zadań „znajdź minimum $P (a)$ na $[a_{1}, a_{2}]$ ” (lub półzamkniętym):

Pochodna $P^{'} (a)$ .
Miejsca zerowe $P^{'} (a) = 0$ w $R$ .
Wybierz miejsca w dziedzinie — jeśli któreś jest poza, odrzucasz je.
Zbadaj znak pochodnej w dziedzinie — jeśli stały (jak tutaj), funkcja jest monotoniczna → ekstremum na końcu.
Jeśli pochodna zmienia znak w dziedzinie, miejsce zmiany to kandydat na ekstremum lokalne.
Porównaj wartości $P$ w kandydatach i na końcach przedziału — wybierz najmniejszą.

Najczęstsze ścieżki: a) ekstremum w środku (gdy pochodna ma miejsce zerowe wewnątrz dziedziny), b) ekstremum na końcu (gdy pochodna nie zeruje się wewnątrz). To zadanie należy do typu b).

Treść zadania

Zadanie 13.1. (0–2)

Zadanie 13.2. (0–4)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Schemat bryły

13.1 — wykaż wzór $P (a)$ (2 pkt)

13.2 — znajdź minimum $P (a)$ na $(0, 83]$ (4 pkt)

Punktacja CKE

Klucz — optymalizacja na zamkniętym przedziale

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Zadanie 13.1. (0–2)

Zadanie 13.2. (0–4)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Schemat bryły

13.1 — wykaż wzór P(a) (2 pkt)

13.2 — znajdź minimum P(a) na (0,83​] (4 pkt)

Punktacja CKE

Klucz — optymalizacja na zamkniętym przedziale

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

13.1 — wykaż wzór $P (a)$ (2 pkt)

13.2 — znajdź minimum $P (a)$ na $(0, 83]$ (4 pkt)