Zadanie 7

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 7 - strona 10 arkusza CKE — Strona 10 arkusza CKE z trescia zadania 7. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 10

Co dane?

$(x, y, z)$ — trzywyrazowy geometryczny i rosnący
$x + y + z = 105$
$(x, y, z) = (a_{1}, a_{2}, a_{6})$ — pierwszy, drugi i szósty wyraz arytmetycznego $(a_{n})$ o różnicy $r$

Mamy dwie nieznane wielkości: $x$ i $r$ (z nich już wynikają $y$ i $z$ ). Potrzebujemy dwóch równań.

Sposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego

Wyraź $y$ i $z$ przez $x$ i $r$ .

$y = a_{2} = a_{1} + r = x + r$

$z = a_{6} = a_{1} + 5 r = x + 5 r$

Pierwsze równanie — z sumy $x + y + z = 105$ :

$x + (x + r) + (x + 5 r) = 105$

$3 x + 6 r = 105$

$x + 2 r = 35 \Rightarrow x = 35 - 2 r$

Drugie równanie — z własności ciągu geometrycznego ( $y^{2} = x \cdot z$ ):

$(x + r)^{2} = x \cdot (x + 5 r)$

Rozwiń:

$x^{2} + 2 x r + r^{2} = x^{2} + 5 x r$

$r^{2} = 3 x r$

$r^{2} - 3 x r = 0 \Rightarrow r (r - 3 x) = 0$

Rozważ oba przypadki.

$r = 0$ : wtedy $x = y = z$ , więc ciąg jest stały, a nie rosnący. Odrzucamy.
$r = 3 x$ : pasuje. Podstawiamy do $x + 2 r = 35$ :

$x + 2 \cdot 3 x = 35 \Rightarrow 7 x = 35 \Rightarrow x = 5$

Wtedy $r = 15$ , $y = 5 + 15 = 20$ , $z = 5 + 75 = 80$ .

Sprawdzenie. Suma: $5 + 20 + 80 = 105$ ✓. Iloraz geometryczny: $\frac{20}{5} = 4$ , $\frac{80}{20} = 4$ ✓. Ciąg rosnący: $5 < 20 < 80$ ✓.

Sposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego

Niech $q$ — iloraz $(x, y, z)$ . Wtedy $y = x q$ , $z = x q^{2}$ .

Z różnicy arytmetycznej między 1. a 2. wyrazem oraz między 2. a 6.: $r = y - x$ , $z - y = (6 - 2) \cdot r = 4 r$ . Stąd:

$z - y = 4 (y - x) \Rightarrow x q^{2} - x q = 4 (x q - x) \Rightarrow x q (q - 1) = 4 x (q - 1)$

Ponieważ ciąg jest rosnący, $x \neq = 0$ i $q \neq = 1$ (gdyby $q = 1$ , mielibyśmy ciąg stały). Możemy podzielić przez $x (q - 1)$ :

$q = 4$

Z $x + y + z = 105$ : $x + 4 x + 16 x = 105 \Rightarrow 21 x = 105 \Rightarrow x = 5$ . Wtedy $y = 20$ , $z = 80$ . Ten sam wynik, ale o połowę krótsze rachunki.

Punktacja CKE

Zasady oceniania podają osobne kryteria dla kilku sposobów. Dla rozwiązania przez różnicę $r$ (sposób I powyżej):

1 pkt — zapisanie równania $x + (x + r) + (x + 5 r) = 105$ ALBO równania $(x + r)^{2} = x (x + 5 r)$ .
2 pkt — zapisanie $x$ , $y$ , $z$ w zależności od $r$ : $x = 35 - 2 r$ , $y = 35 - r$ , $z = 35 + 3 r$ ALBO zapisanie układu obu równań.
3 pkt — zapisanie równania z jedną niewiadomą $r$ , np. $(35 - r)^{2} = (35 - 2 r) (35 + 3 r)$ ALBO wyznaczenie $r = 3 x$ z równania $(x + r)^{2} = x (x + 5 r)$ .
4 pkt — poprawny wynik $x = 5$ , $y = 20$ , $z = 80$ .

Dla rozwiązania przez iloraz $q$ (sposób II powyżej) za 1 pkt wystarczy jedno z równań $4 (x q - x) = x q^{2} - x q$ lub $x + x q + x q^{2} = 105$ , za 2 pkt — oba równania albo $q = 4$ z uzasadnieniem $x \neq = 0$ , $q \neq = 1$ .

Klucz uniwersalny

Zadania typu „ciąg geometryczny i arytmetyczny jednocześnie” mają zwykle dwie ścieżki:

Przez różnicę $r$ — wyrazy = $x, x + r, x + 5 r$ (lub inne pozycje); warunek geometryczny $y^{2} = x z$ daje równanie kwadratowe.
Przez iloraz $q$ — wyrazy = $x, x q, x q^{2}$ ; różnica między pozycjami arytmetycznymi daje równanie liniowe (po podziale przez $x$ ).

Sposób II często jest szybszy, jeśli pozycje arytmetyczne są blisko siebie. Wybierz tę, gdzie pierwszy warunek redukuje się do prostszego równania.

Treść zadania

Zadanie 7. (0–4)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Co dane?

Sposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego

Sposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Zadanie 7. (0–4)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Co dane?

Sposób I — przez różnicę r ciągu arytmetycznego

Sposób II — przez iloraz q ciągu geometrycznego

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Sposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego

Sposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego