Zadanie 7

Co dane?

$(x, y, z)$ — trzywyrazowy geometryczny i rosnący
$x + y + z = 105$
$(x, y, z) = (a_{1}, a_{2}, a_{6})$ — pierwszy, drugi i szósty wyraz arytmetycznego $(a_{n})$ o różnicy $r$

Mamy dwie nieznane wielkości: $x$ i $r$ (z nich już wynikają $y$ i $z$ ). Potrzebujemy dwóch równań.

Sposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego

Wyraź $y$ i $z$ przez $x$ i $r$ .

$y = a_{2} = a_{1} + r = x + r$

$z = a_{6} = a_{1} + 5 r = x + 5 r$

Pierwsze równanie — z sumy $x + y + z = 105$ :

$x + (x + r) + (x + 5 r) = 105$

$3 x + 6 r = 105$

$x + 2 r = 35 \Rightarrow x = 35 - 2 r$

Drugie równanie — z własności ciągu geometrycznego ( $y^{2} = x \cdot z$ ):

$(x + r)^{2} = x \cdot (x + 5 r)$

Rozwiń:

$x^{2} + 2 x r + r^{2} = x^{2} + 5 x r$

$r^{2} = 3 x r$

$r^{2} - 3 x r = 0 \Rightarrow r (r - 3 x) = 0$

Rozważ oba przypadki.

$r = 0$ : wtedy $x = y = z$ , więc ciąg jest stały, a nie rosnący. Odrzucamy.
$r = 3 x$ : pasuje. Podstawiamy do $x + 2 r = 35$ :

$x + 2 \cdot 3 x = 35 \Rightarrow 7 x = 35 \Rightarrow x = 5$

Wtedy $r = 15$ , $y = 5 + 15 = 20$ , $z = 5 + 75 = 80$ .

Sprawdzenie. Suma: $5 + 20 + 80 = 105$ ✓. Iloraz geometryczny: $\frac{20}{5} = 4$ , $\frac{80}{20} = 4$ ✓. Ciąg rosnący: $5 < 20 < 80$ ✓.

Odpowiedź: $x = 5$ , $y = 20$ , $z = 80$ .

Sposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego

Niech $q$ — iloraz $(x, y, z)$ . Wtedy $y = x q$ , $z = x q^{2}$ .

Z różnicy arytmetycznej między 1. a 2. wyrazem oraz między 2. a 6.: $r = y - x$ , $z - y = (6 - 2) \cdot r = 4 r$ . Stąd:

$z - y = 4 (y - x) \Rightarrow x q^{2} - x q = 4 (x q - x) \Rightarrow x q (q - 1) = 4 x (q - 1)$

Ponieważ ciąg jest rosnący, $x \neq = 0$ i $q \neq = 1$ (gdyby $q = 1$ , mielibyśmy ciąg stały). Możemy podzielić przez $x (q - 1)$ :

$q = 4$

Z $x + y + z = 105$ : $x + 4 x + 16 x = 105 \Rightarrow 21 x = 105 \Rightarrow x = 5$ . Wtedy $y = 20$ , $z = 80$ . Ten sam wynik, ale o połowę krótsze rachunki.

Pułapka dzielenia bez założenia (uwaga 1 z klucza CKE)

Klasyczny błąd: ze wzoru $r^{2} = 3 x r$ od razu napisać $r = 3 x$ (dzielenie obu stron przez $r$ ), pomijając przypadek $r = 0$ . CKE traktuje to jako dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą bez zastrzeżenia — maksimum 3 pkt zamiast 4.

Bezpieczna procedura: przenieść wszystko na jedną stronę ( $r^{2} - 3 x r = 0$ ) i wyłączyć przed nawias ( $r (r - 3 x) = 0$ ). Wtedy dwa przypadki są widoczne, i odrzucenie $r = 0$ jako sprzecznego z „rosnący” jest jawne.

Pułapka “rosnący” vs “ściśle monotoniczny”

Słowo „rosnący” w treści eliminuje przypadek ciągu stałego. Gdyby treść mówiła „niemalejący”, to $r = 0$ byłby dopuszczalny i mielibyśmy dwa rozwiązania: $(35, 35, 35)$ oraz $(5, 20, 80)$ .

W matematycznym zapisie: „rosnący” = $a_{n} < a_{n + 1}$ (ścisła nierówność).

Punktacja CKE

Klucz daje 4 ścieżki o tej samej strukturze punktów:

1 pkt — zapisanie jednego z równań ( $x + 2 r = 35$ lub $(x + r)^{2} = x (x + 5 r)$ , lub w wariancie II — $q^{2} - 5 q + 4 = 0$ , itd.)
2 pkt — zapisanie układu obu równań / wyrażenie wyrazów w zależności od jednej zmiennej
3 pkt — sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą i rozwiązanie ( $r = 15$ lub $q = 4$ )
4 pkt — pełna metoda + wynik $x = 5$ , $y = 20$ , $z = 80$ z odrzuceniem przypadku trywialnego.

Klucz uniwersalny

Zadania typu „ciąg geometryczny i arytmetyczny jednocześnie” mają zwykle dwie ścieżki:

Przez różnicę $r$ — wyrazy = $x, x + r, x + 5 r$ (lub inne pozycje); warunek geometryczny $y^{2} = x z$ daje równanie kwadratowe.
Przez iloraz $q$ — wyrazy = $x, x q, x q^{2}$ ; różnica między pozycjami arytmetycznymi daje równanie liniowe (po podziale przez $x$ ).

Sposób II często jest szybszy, jeśli pozycje arytmetyczne są blisko siebie. Wybierz tę, gdzie pierwszy warunek redukuje się do prostszego równania.

Treść zadania

Co dane?

Sposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego

Sposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Co dane?

Sposób I — przez różnicę r ciągu arytmetycznego

Sposób II — przez iloraz q ciągu geometrycznego

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Sposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego

Sposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego