Zadanie 6

Co dokładnie liczymy?

Liczba naturalna (więc bez zer na początku)
Cyfry parami różne (każda max raz)
Dokładnie 3 cyfry nieparzyste i dokładnie 2 cyfry parzyste
Łącznie więc liczba ma 5 cyfr (3 + 2)

Dlatego liczba musi być pięciocyfrowa.

Cyfry nieparzyste dostępne: ${1, 3, 5, 7, 9}$ — pięć sztuk. Cyfry parzyste dostępne: ${0, 2, 4, 6, 8}$ — pięć sztuk.

Strategia — wszystkie minus zero-na-początku

Najprościej:

Zliczyć wszystkie 5-cyfrowe ciągi (z 3 nieparzystymi i 2 parzystymi, parami różne) — w tym te zaczynające się od zera (czyli formalnie nie-naturalne).
Odjąć te zaczynające się od zera.

Krok 1 — wszystkie 5-cyfrowe ciągi $L_{1}$

Wybierz 3 cyfry nieparzyste z 5 dostępnych. Kombinacja (bez kolejności, bo dopiero ustawiamy je w cyfrach później):

$(3 5) = 10$

Wybierz 2 cyfry parzyste z 5 dostępnych.

$(2 5) = 10$

Ustaw wybrane 5 cyfr w 5 pozycjach. Permutacja 5-elementowa:

$5! = 120$

Wymnóż (reguła mnożenia):

$L_{1} = (3 5) \cdot (2 5) \cdot 5! = 10 \cdot 10 \cdot 120 = 12000$

Krok 2 — odejmij ciągi zaczynające się od zera $L_{2}$

Jeśli pierwsza cyfra to $0$ , to:

$0$ jest jedną z dwóch wybranych cyfr parzystych — pozostaje wybrać jedną spośród pozostałych 4 parzystych ( ${2, 4, 6, 8}$ ): $(1 4) = 4$
nieparzyste: jak wcześniej, $(3 5) = 10$
Mamy ustaloną pierwszą cyfrę ( $0$ ) i 4 inne cyfry na pozostałych 4 pozycjach: permutacja $4!$ :

$L_{2} = (3 5) \cdot (1 4) \cdot 4! = 10 \cdot 4 \cdot 24 = 960$

Krok 3 — wynik

$L_{1} - L_{2} = 12000 - 960 = 11040$

Odpowiedź: jest $11040$ takich liczb.

Sposób alternatywny — bez odejmowania

Można od razu zliczać przypadki, w których pierwsza cyfra nie jest zerem. Dwa rozłączne podprzypadki:

Przypadek A: pierwsza cyfra parzysta różna od 0 (czyli z ${2, 4, 6, 8}$ ):

$P = 4 \cdot (1 4) \cdot (3 5) \cdot 4!$

(4 wybory pierwszej cyfry; potem 1 z pozostałych 4 parzystych; potem 3 z 5 nieparzystych; permutacja na 4 pozostałych pozycjach.)

$P = 4 \cdot 4 \cdot 10 \cdot 24 = 3840$

Przypadek B: pierwsza cyfra nieparzysta:

$N = 5 \cdot (2 4) \cdot (2 5) \cdot 4!$

(5 wyborów pierwszej cyfry nieparzystej; 2 z pozostałych 4 nieparzystych; 2 z 5 parzystych; permutacja na 4 pozostałych pozycjach.)

$N = 5 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 24 = 7200$

$P + N = 3840 + 7200 = 11040$ ✓

Pułapka — uwaga 1 z klucza CKE (0 punktów)

Jeśli rozpatrujesz liczby inne niż pięciocyfrowe (np. liczby 4-cyfrowe lub 6-cyfrowe) — CKE daje 0 punktów na całe zadanie. Treść mówi „dokładnie 3 nieparzyste + dokładnie 2 parzyste” — to dokładnie 5 cyfr.

Pułapka zera na początku

Klasyczny błąd to obliczenie tylko $L_{1} = 12000$ i wpisanie tej liczby jako wynik. To zawyża odpowiedź — zawiera ciągi z zerem na początku, które nie są liczbami naturalnymi.

Bezpieczna ścieżka: zawsze, gdy w zadaniu o liczbach jest możliwa „cyfra 0” wśród wybranych, sprawdź czy nie zaczyna ona liczby. Jeśli tak — albo odejmij (jak Sposób I), albo zlicz przypadki rozłącznie według pierwszej cyfry (jak Sposób II).

Punktacja CKE

1 pkt — obliczenie $L_{1} = (3 5) \cdot (2 5) \cdot 5! = 12000$ ALBO $L_{2} = (3 5) \cdot (1 4) \cdot 4! = 960$ ALBO jednego z przypadków P, N w sposobie alternatywnym.
2 pkt — dodatkowo obliczenie obu $L_{1}$ i $L_{2}$ (lub obu P i N).
3 pkt — pełna metoda + wynik $11040$ .

Klucz uniwersalny — schemat zliczania ciągów z ograniczeniami

Pamiętaj o trzech fazach każdego takiego zadania:

Wybierz odpowiednią liczbę elementów z każdej puli (kombinacje $(k n)$ , bo kolejność wyboru nie ma znaczenia).
Ustaw wybrane elementy (permutacja $k!$ albo wariacja, jeśli rozróżniamy pozycje).
Odejmij przypadki łamiące dodatkowe warunki (np. „zaczynające się od zera”).

Albo zamiennie — od razu rozbij na rozłączne klasy według trudnego warunku (jak w Sposobie II), żeby nie odejmować nic na końcu.

Treść zadania

Co dokładnie liczymy?

Strategia — wszystkie minus zero-na-początku

Krok 1 — wszystkie 5-cyfrowe ciągi $L_{1}$

Krok 2 — odejmij ciągi zaczynające się od zera $L_{2}$

Krok 3 — wynik

Sposób alternatywny — bez odejmowania

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny — schemat zliczania ciągów z ograniczeniami

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Co dokładnie liczymy?

Strategia — wszystkie minus zero-na-początku

Krok 1 — wszystkie 5-cyfrowe ciągi L1​

Krok 2 — odejmij ciągi zaczynające się od zera L2​

Krok 3 — wynik

Sposób alternatywny — bez odejmowania

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny — schemat zliczania ciągów z ograniczeniami

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Krok 1 — wszystkie 5-cyfrowe ciągi $L_{1}$

Krok 2 — odejmij ciągi zaczynające się od zera $L_{2}$