Zadanie 5

Strategia

Trzeba pokazać równość $lo g_{12} 80 = \frac{2 a + 1}{a ( 1 + b )}$ , gdzie $a = lo g_{5} 4$ , $b = lo g_{4} 3$ .

Idea: sprowadzić $lo g_{12} 80$ do podstawy $4$ (bo wyrażenia $a$ i $b$ łatwo dają się wyrazić w bazie $4$ ), potem przekształcać dopóki nie wyjdzie żądana postać.

Trzy fakty, na których stoi cały dowód:

Zamiana podstawy: $lo g_{c} d = \frac{lo g _{e} d}{lo g _{e} c}$ dla dowolnej dozwolonej podstawy $e$
Logarytm iloczynu: $lo g_{c} (d e) = lo g_{c} d + lo g_{c} e$
Logarytm odwrotności: $lo g_{c} d = \frac{1}{lo g _{d} c}$ (specjalny przypadek zamiany podstawy)

Sposób I — przez bazę 4

Sprowadź $lo g_{12} 80$ do bazy 4 (zamiana podstawy):

$lo g_{12} 80 = \frac{l o g _{4} 80}{l o g _{4} 12}$

Rozłóż licznik: $80 = 16 \cdot 5 = 4^{2} \cdot 5$ .

$lo g_{4} 80 = lo g_{4} (4^{2} \cdot 5) = lo g_{4} 4^{2} + lo g_{4} 5 = 2 + lo g_{4} 5$

Rozłóż mianownik: $12 = 4 \cdot 3$ .

$lo g_{4} 12 = lo g_{4} (4 \cdot 3) = lo g_{4} 4 + lo g_{4} 3 = 1 + b$

(bo $lo g_{4} 3 = b$ z założenia).

Wyraź $lo g_{4} 5$ przez $a$ . Z definicji odwrotności logarytmu:

$lo g_{4} 5 = \frac{1}{l o g _{5} 4} = \frac{1}{a}$

Złóż wszystko.

$lo g_{12} 80 = \frac{2 + l o g _{4} 5}{1 + b} = \frac{2 + \frac{1}{a}}{1 + b}$

Sprowadź licznik do wspólnego mianownika $a$ :

$2 + \frac{1}{a} = \frac{2 a + 1}{a}$

Zatem:

$lo g_{12} 80 = \frac{\frac{2 a + 1}{a}}{1 + b} = \frac{2 a + 1}{a \cdot ( 1 + b )}$

To należało udowodnić. $■$

Dowód zakończony. CKE akceptuje również inne ścieżki (sposób II–IV poniżej).

Sposób II — przekształcenie odwrotne (od prawej do lewej)

Czasem łatwiej zacząć od wyrażenia docelowego i pokazać, że redukuje się do $lo g_{12} 80$ .

$\frac{2 a + 1}{a ( 1 + b )} = \frac{2 l o g _{5} 4 + 1}{l o g _{5} 4 \cdot ( 1 + l o g _{4} 3 )}$

Z wzoru $lo g_{c} (x y) = lo g_{c} x + lo g_{c} y$ : $2 lo g_{5} 4 + 1 = lo g_{5} 16 + lo g_{5} 5 = lo g_{5} (16 \cdot 5) = lo g_{5} 80$ .

A $lo g_{5} 4 \cdot (1 + lo g_{4} 3) = lo g_{5} 4 \cdot (lo g_{4} 4 + lo g_{4} 3) = lo g_{5} 4 \cdot lo g_{4} 12$ .

Z zamiany podstawy: $lo g_{5} 4 \cdot lo g_{4} 12 = lo g_{5} 12$ .

Stąd:

$\frac{2 a + 1}{a ( 1 + b )} = \frac{l o g _{5} 80}{l o g _{5} 12} = lo g_{12} 80$

(ostatnia równość znów ze wzoru na zamianę podstawy, w drugą stronę).

Pułapka wzoru na zamianę podstawy

Wzór $lo g_{c} d = \frac{lo g _{e} d}{lo g _{e} c}$ łatwo pomylić (który element idzie na górę, który na dół). Sprawdzenie: $lo g_{10} 100 = 2$ (oczywiste). Sprowadzając do bazy $e = ln$ : $\frac{ln 100}{ln 10} = \frac{2 ln 10}{ln 10} = 2$ ✓. Liczba, której szukasz logarytm ( $d$ ), idzie do licznika.

Pułapka odwrotności:

lo g_{5} 4 \neq = lo g_{4} 5

$lo g_{5} 4 = a \approx 0, 86$ (bo $5^{0, 86} \approx 4$ ). $lo g_{4} 5 = \frac{1}{a} \approx 1, 16$ (bo $4^{1, 16} \approx 5$ ).

Są wzajemnie odwrotne, ale różne. Wzór: $lo g_{p} q = \frac{1}{lo g _{q} p}$ .

To kluczowy krok dowodu — wyrażenie $lo g_{4} 5$ jako $\frac{1}{a}$ wymaga tej tożsamości.

Punktacja CKE

1 pkt — zastosowanie wzoru na zamianę podstawy LUB wzoru na logarytm iloczynu (np. $1 + lo g_{4} 3 = lo g_{4} (4 \cdot 3) = lo g_{4} 12$ ).
2 pkt — przekształcenie $lo g_{12} 80$ do postaci $\frac{2 + lo g _{4} 5}{1 + lo g _{4} 3}$ ALBO wyrażenia $\frac{2 a + 1}{a ( 1 + b )}$ do postaci, z której prowadzi już bezpośrednio do tezy.
3 pkt — pełne rozumowanie, oba kierunki zamknięte.

Klucz — logarytmy z parametrami

W zadaniach z parametrami $a, b, \dots$ jako logarytmami, najszybsza droga to zwykle:

Wybierz bazę docelową — tę, w której parametry mają najprostszą formę (tu: baza $4$ , bo $a$ wprost staje się $\frac{1}{a}$ , a $b$ pojawia się literalnie).
Rozłóż argumenty na czynniki — 12 = 4 · 3, 80 = 16 · 5. Tak żeby pojawiły się znane wartości i potęgi bazy.
Skleciaj wszystko z poznanych elementów — $lo g_{4} 4 = 1$ , $lo g_{4} 4^{2} = 2$ , $lo g_{4} 3 = b$ , $lo g_{4} 5 = \frac{1}{a}$ .

Powyższy schemat działa praktycznie zawsze, gdy widzisz „wykaż, że $lo g_{x} y = co \overset{s}{ˊ} z a, b$ ”.

Treść zadania

Strategia

Sposób I — przez bazę 4

Sposób II — przekształcenie odwrotne (od prawej do lewej)

Punktacja CKE

Klucz — logarytmy z parametrami

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji