Zadanie 4 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2024, PR

Zadanie 4

Matura z matematyki, maj 2024, poziom rozszerzony

Wymaganie:

XIII.R2 — stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną pochodnej; XIII.R3 — oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu.

Treść zadania

Funkcja $f$ jest określona wzorem

$f (x) = \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x}$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P$ , o pierwszej współrzędnej równej $2$ , należy do wykresu funkcji $f$ . Prosta o równaniu $y = a x + b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$ .

Zadanie 4. (0–3)

Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

a = 7/2, b = −5

Typowy błąd / pułapka

Uwaga: wzór warto najpierw uprościć do f(x) = x² − 3 + 2/x — pochodna ilorazu w pierwotnej formie też prowadzi do wyniku, ale wymaga więcej rachunków. Błąd: zapomnienie, że styczna przechodzi przez P — i b liczone bez warunku f(P_x) = a · P_x + b.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 4 - strona 7 arkusza CKE — Strona 7 arkusza CKE z trescia zadania 4. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 7

Geometryczna interpretacja pochodnej

Jeśli prosta $y = a x + b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P = (x_{0}, f (x_{0}))$ , to:

$a = f^{'} (x_{0})$ — współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w punkcie styczności
styczna przechodzi przez $P$ — czyli $f (x_{0}) = a \cdot x_{0} + b$

Dwa warunki, dwie niewiadome ( $a$ i $b$ ).

Oblicz $f (2)$ — drugą współrzędną punktu $P$ .

$f (2) = \frac{2 ^{3} - 3 \cdot 2 + 2}{2} = \frac{8 - 6 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Czyli $P = (2, 2)$ .

Uprość wzór funkcji — dla $x \neq = 0$ :

$f (x) = \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x} = \frac{x ^{3}}{x} - \frac{3 x}{x} + \frac{2}{x} = x^{2} - 3 + \frac{2}{x}$

Tak jest znacznie łatwiej różniczkować (dwa składniki potęgowe + jeden ilorazowy z prostym wzorem) niż brać pochodną pierwotnego ułamka.

Oblicz pochodną. Pamiętaj: $\frac{2}{x} = 2 x^{- 1}$ , więc $(\frac{2}{x})^{'} = - 2 x^{- 2} = - \frac{2}{x ^{2}}$ .

$f^{'} (x) = 2 x - 0 - \frac{2}{x ^{2}} = 2 x - \frac{2}{x ^{2}}$

Wstaw $x = 2$ żeby znaleźć współczynnik kierunkowy stycznej:

$a = f^{'} (2) = 2 \cdot 2 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Wyznacz $b$ z warunku przejścia stycznej przez $P = (2, 2)$ :

$2 = \frac{7}{2} \cdot 2 + b$

$2 = 7 + b \Rightarrow b = - 5$

Sposób alternatywny — pochodna ilorazu

Można policzyć $f^{'} (x)$ od razu ze wzoru na pochodną ilorazu $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ :

$f^{'} (x) = \frac{( 3 x ^{2} - 3 ) \cdot x - ( x ^{3} - 3 x + 2 ) \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{3 x ^{3} - 3 x - x ^{3} + 3 x - 2}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 2}{x ^{2}}$

Dla $x = 2$ : $f^{'} (2) = \frac{16 - 2}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$ ✓

Ta sama odpowiedź, ale o wiele więcej rachunku — i więcej okazji do pomyłki znaku. Uproszczenie wzoru na początku to lepsza droga.

Punktacja CKE

1 pkt — wyznaczenie pochodnej $f^{'} (x)$ w jakiejkolwiek postaci.
2 pkt — obliczenie $a = f^{'} (2) = \frac{7}{2}$ .
3 pkt — dodatkowo obliczenie $b = - 5$ .

Klucz — równanie stycznej

Procedura uniwersalna dla zadań „styczna w punkcie $P$ ”:

Oblicz $f (x_{0})$ — drugą współrzędną punktu styczności.
Oblicz $f^{'} (x_{0})$ — to twój $a$ .
Podstaw do $f (x_{0}) = a \cdot x_{0} + b$ i znajdź $b$ .

Ewentualna postać alternatywna: $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ — to równanie stycznej „w postaci punkt-kierunek”, można rozwinąć do postaci kierunkowej.