Zadanie 2

Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \to 2$ ?

Licznik: $x^{3} - 8 \to 8 - 8 = 0$ .

Mianownik: $(x - 2)^{2} \to 0$ .

Symbolicznie: $\frac{0}{0}$ — nieoznaczoność. Musimy uprościć wyrażenie albo użyć reguły de l’Hospitala.

Trik — różnica sześcianów

Zauważ, że $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}$ — to różnica sześcianów. Wzór skróconego mnożenia:

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Dla $a = x$ , $b = 2$ :

$x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

Podstaw rozkład do ułamka i skróć $(x - 2)$ .

$\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$

(skracanie jest dozwolone, bo $x \neq = 2$ — granica nie sprawdza wartości w punkcie, tylko zachowanie blisko niego).

Zbadaj zachowanie licznika i mianownika osobno, gdy $x \to 2^{-}$ (czyli $x \to 2$ z lewej strony, więc $x < 2$ ).

Licznik: $x^{2} + 2 x + 4 \to 4 + 4 + 4 = 12$ (skończona, dodatnia).

Mianownik: $x - 2 \to 0$ , ale od strony ujemnej (bo $x < 2$ → $x - 2 < 0$ ). Symbolicznie: $0^{-}$ .

Wyciągnij wniosek. Liczba dodatnia (12) podzielona przez „zero od strony ujemnej” daje minus nieskończoność:

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2} = \frac{12}{0 ^{-}} = - \infty$

Odpowiedź: $x \to 2^{-} lim \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = - \infty$ .

Typowy błąd — pominięcie znaku przy

x \to 2^{-}

Częsty błąd to pisanie „ $\frac{12}{0} = + \infty$ ” bez analizy znaku mianownika. Granica zwykła w punkcie, gdzie mianownik = 0 i licznik ≠ 0, nie istnieje — trzeba osobno sprawdzić granice z lewej i prawej strony.

Dla $x \to 2^{-}$ : $x < 2$ → $x - 2 < 0$ → mianownik ujemny → wynik minus nieskończoność.

Dla $x \to 2^{+}$ : $x > 2$ → $x - 2 > 0$ → mianownik dodatni → granica jednostronna z prawej to $+ \infty$ .

Ponieważ obie granice jednostronne są różne, granica $lim_{x \to 2}$ (bez znaku) nie istnieje. Ale tutaj pytamy tylko o lewostronną — i jest $- \infty$ .

Pułapka —

(x - 2)^{2}

jest zawsze

\geq 0

Niektórzy zauważają $(x - 2)^{2} \geq 0$ i piszą „mianownik $\to 0^{+}$ , więc granica = $+ \infty$ ”. To by działało, gdyby po skróceniu nadal był w mianowniku kwadrat. Ale po skróceniu z licznika usuwamy jeden czynnik $(x - 2)$ , zostaje jeden $(x - 2)$ — bez kwadratu. I ten jeden $(x - 2)$ ma już znak.

To dlatego klucz CKE wymaga w pierwszej kolejności uproszczenia $\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}}$ do $\frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$ — żeby nie zgubić znaku.

Sposób alternatywny — reguła de l’Hospitala (R3)

Skoro mamy $\frac{0}{0}$ , możemy zastosować regułę de l’Hospitala:

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{3 x ^{2}}{2 ( x - 2 )} = \frac{12}{0 ^{-}} = - \infty$

Działa, ale wymaga znajomości pochodnych. Sposób przez różnicę sześcianów jest bardziej elementarny i też pełny za 2 punkty.

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie wyrażenia w postaci $\frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$ (lub równoważnej, np. $x + 4 + \frac{12}{x - 2}$ ).
2 pkt — pełna metoda + wynik $- \infty$ .

Treść zadania

Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \to 2$ ?

Trik — różnica sześcianów

Sposób alternatywny — reguła de l’Hospitala (R3)

Punktacja CKE

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy x→2?

Trik — różnica sześcianów

Sposób alternatywny — reguła de l’Hospitala (R3)

Punktacja CKE

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \to 2$ ?