Zadanie 2

Rozwiązanie

Granica jest równa −∞.

Typowy błąd / pułapka

Uwaga: podstawienie x = 2 daje symbol 0/0, więc najpierw trzeba skrócić ułamek: $\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$ . Licznik dąży do 12, a mianownik do 0 przez wartości ujemne (granica lewostronna, x < 2), więc granica jest równa −∞. Błąd: pominięcie znaku mianownika i odpowiedź +∞.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 2 - strona 5 arkusza CKE — Strona 5 arkusza CKE z trescia zadania 2. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 5

Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \to 2$ ?

Licznik: $x^{3} - 8 \to 8 - 8 = 0$ .

Mianownik: $(x - 2)^{2} \to 0$ .

Symbolicznie: $\frac{0}{0}$ — nieoznaczoność. Musimy uprościć wyrażenie albo użyć reguły de l’Hospitala.

Trik — różnica sześcianów

Zauważ, że $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}$ — to różnica sześcianów. Wzór skróconego mnożenia:

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Dla $a = x$ , $b = 2$ :

$x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

Podstaw rozkład do ułamka i skróć $(x - 2)$ .

$\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$

(skracanie jest dozwolone, bo $x \neq = 2$ — granica nie sprawdza wartości w punkcie, tylko zachowanie blisko niego).

Zbadaj zachowanie licznika i mianownika osobno, gdy $x \to 2^{-}$ (czyli $x \to 2$ z lewej strony, więc $x < 2$ ).

Licznik: $x^{2} + 2 x + 4 \to 4 + 4 + 4 = 12$ (skończona, dodatnia).

Mianownik: $x - 2 \to 0$ , ale od strony ujemnej (bo $x < 2$ → $x - 2 < 0$ ). Symbolicznie: $0^{-}$ .

Wyciągnij wniosek. Liczba dodatnia (12) podzielona przez „zero od strony ujemnej” daje minus nieskończoność:

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2} = \frac{12}{0 ^{-}} = - \infty$

Sposób alternatywny — reguła de l’Hospitala (poza podstawą programową)

Skoro mamy $\frac{0}{0}$ , możemy zastosować regułę de l’Hospitala:

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{3 x ^{2}}{2 ( x - 2 )} = \frac{12}{0 ^{-}} = - \infty$

Reguła de l’Hospitala nie należy do wymagań podstawy programowej, ale zasady oceniania CKE uwzględniają ten zapis (za 1 pkt). Sposób przez różnicę sześcianów jest bardziej elementarny i też pełny za 2 punkty.

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie wyrażenia w postaci $\frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$ (lub równoważnej, np. $x + 4 + \frac{12}{x - 2}$ ) ALBO zapisanie równości $x \to 2^{-} lim \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = x \to 2^{-} lim \frac{3 x ^{2}}{2 x - 4}$ .
2 pkt — pełna metoda + wynik $- \infty$ .

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \to 2$ ?

Trik — różnica sześcianów

Sposób alternatywny — reguła de l’Hospitala (poza podstawą programową)

Punktacja CKE

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy x→2?

Trik — różnica sześcianów

Sposób alternatywny — reguła de l’Hospitala (poza podstawą programową)

Punktacja CKE

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Pierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \to 2$ ?