Zadanie 3 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2024, PR

Treść zadania

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w $200$ -gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż $36%$ tłuszczu, jest równe $0, 01$ . Kontroli poddajemy $10$ losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Zadanie 3. (0–3)

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż $36%$ tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-R0-100-2405. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

P ≈ 0,996

Typowy błąd / pułapka

Zasady oceniania CKE (uwaga 3): jeśli określisz sukces jako p = 0,99 zamiast p = 0,01 (czyli „opakowanie z ≥ 36% tłuszczu”) i potem błędnie zinterpretujesz końcowy wynik — dostajesz 1 pkt zamiast 3. Druga pułapka: pomylenie "co najwyżej 1" z "dokładnie 1" lub "co najmniej 1".

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 3 - strona 6 arkusza CKE — Strona 6 arkusza CKE z trescia zadania 3. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 6

Identyfikacja modelu

Mamy 10 niezależnych prób (opakowań). W każdej:

sukces = trafiamy na opakowanie z mniej niż 36% tłuszczu (zdarzenie z treści), $p = 0, 01$
porażka = opakowanie ma $\geq 36%$ tłuszczu, $q = 1 - p = 0, 99$

To schemat Bernoulliego z $n = 10$ , $p = 0, 01$ .

Pytamy o $P (co najwy \overset{z}{˙} ej 1 sukces)$ — czyli $P (S = 0) + P (S = 1)$ , gdzie $S$ to liczba sukcesów w 10 próbach.

Wzór Bernoulliego

Liczba sukcesów $k$ w $n$ próbach ma prawdopodobieństwo:

$P (S = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}$

Oblicz $P (S = 0)$ (zero opakowań „złych”):

$P (S = 0) = (0 10) \cdot (0, 01)^{0} \cdot (0, 99)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0, 99)^{10} = (0, 99)^{10}$

Oblicz $P (S = 1)$ (dokładnie jedno „złe”):

$P (S = 1) = (1 10) \cdot (0, 01)^{1} \cdot (0, 99)^{9} = 10 \cdot 0, 01 \cdot (0, 99)^{9} = 0, 1 \cdot (0, 99)^{9}$

Zsumuj — z faktoryzacji $(0, 99)^{9}$ .

$P = (0, 99)^{10} + 0, 1 \cdot (0, 99)^{9} = (0, 99)^{9} \cdot [0, 99 + 0, 1] = (0, 99)^{9} \cdot 1, 09$

Oszacuj. $(0, 99)^{9} \approx 0, 9135$ .

$P \approx 0, 9135 \cdot 1, 09 \approx 0, 9957$

Zaokrąglone do tysięcznych: $P \approx 0, 996$ .

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie $p = 0, 01$ i $q = 0, 99$ (albo prawdopodobieństwa w postaci $q^{10} + 10 \cdot p \cdot q^{9}$ ).
2 pkt — pełne wyrażenie $(0 10) \cdot (0, 99)^{10} + (1 10) \cdot (0, 01) \cdot (0, 99)^{9}$ .
3 pkt — dodatkowo poprawne obliczenie wartości i zaokrąglenie do $0, 996$ .

Klucz — kiedy schemat Bernoulliego

Trzy warunki muszą być spełnione:

Stała liczba prób $n$ (10 opakowań)
Niezależne próby (jedno opakowanie nie wpływa na inne)
Dwa wyniki w każdej próbie (sukces albo porażka, stałe $p$ i $q$ )

Wtedy: $P (S = k) = (k n) p^{k} q^{n - k}$ . Zadania o „kontrolach”, „strzelaniu do tarczy” czy „rzutach monetą” często sprowadzają się do tego wzoru — trzeba tylko poprawnie zdefiniować sukces i zliczyć przypadki.