Zadanie 3

Identyfikacja modelu

Mamy 10 niezależnych prób (opakowań). W każdej:

sukces = trafiamy na opakowanie z mniej niż 36% tłuszczu (zdarzenie z treści), $p = 0, 01$
porażka = opakowanie ma $\geq 36%$ tłuszczu, $q = 1 - p = 0, 99$

To schemat Bernoulliego z $n = 10$ , $p = 0, 01$ .

Pytamy o $P (co najwy \overset{z}{˙} ej 1 sukces)$ — czyli $P (S = 0) + P (S = 1)$ , gdzie $S$ to liczba sukcesów w 10 próbach.

Wzór Bernoulliego

Liczba sukcesów $k$ w $n$ próbach ma prawdopodobieństwo:

$P (S = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}$

Oblicz $P (S = 0)$ (zero opakowań „złych”):

$P (S = 0) = (0 10) \cdot (0, 01)^{0} \cdot (0, 99)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0, 99)^{10} = (0, 99)^{10}$

Oblicz $P (S = 1)$ (dokładnie jedno „złe”):

$P (S = 1) = (1 10) \cdot (0, 01)^{1} \cdot (0, 99)^{9} = 10 \cdot 0, 01 \cdot (0, 99)^{9} = 0, 1 \cdot (0, 99)^{9}$

Zsumuj — z faktoryzacji $(0, 99)^{9}$ .

$P = (0, 99)^{10} + 0, 1 \cdot (0, 99)^{9} = (0, 99)^{9} \cdot [0, 99 + 0, 1] = (0, 99)^{9} \cdot 1, 09$

Oszacuj. $(0, 99)^{9} \approx 0, 9135$ .

$P \approx 0, 9135 \cdot 1, 09 \approx 0, 9957$

Zaokrąglone do tysięcznych: $P \approx 0, 996$ .

Odpowiedź: $P \approx 0, 996$ .

Pułapka definicji sukcesu (uwaga 3 z klucza CKE)

Jeśli zdefiniujesz „sukces” odwrotnie ( $p = 0, 99$ , czyli „opakowanie spełniające normę”), to musisz pytać o „co najmniej 9 sukcesów” zamiast „co najwyżej 1 porażki”. Matematycznie wynik jest ten sam, ale jest tu pułapka: pisanie $P = q^{10} + 10 \cdot q \cdot p^{9}$ jako wynik bez świadomości — CKE traktuje to jako błędną interpretację i obniża do 1 pkt.

Bezpieczne: zdefiniuj sukces zgodnie z treścią (zdarzeniem, którego prawdopodobieństwo $0, 01$ jest podane), i pytaj o „co najwyżej 1 sukces” wprost.

Pułapka „co najwyżej” vs „dokładnie”

„co najwyżej 1” → $P (S \leq 1) = P (0) + P (1)$
„dokładnie 1” → $P (S = 1)$
„co najmniej 1” → $P (S \geq 1) = 1 - P (0)$

Trzy zupełnie różne pytania, trzy różne wyniki. Tutaj treść mówi „będzie co najwyżej jedno opakowanie” — czyli zero albo jedno.

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie $p = 0, 01$ i $q = 0, 99$ (albo prawdopodobieństwa w postaci $q^{10} + 10 \cdot p \cdot q^{9}$ ).
2 pkt — pełne wyrażenie $(0 10) \cdot (0, 99)^{10} + (1 10) \cdot (0, 01) \cdot (0, 99)^{9}$ .
3 pkt — dodatkowo poprawne obliczenie wartości i zaokrąglenie do $0, 996$ .

Klucz — kiedy schemat Bernoulliego

Trzy warunki muszą być spełnione:

Stała liczba prób $n$ (10 opakowań)
Niezależne próby (jedno opakowanie nie wpływa na inne)
Dwa wyniki w każdej próbie (sukces albo porażka, stałe $p$ i $q$ )

Wtedy: $P (S = k) = (k n) p^{k} q^{n - k}$ . Każde zadanie maturalne o „kontrolach”, „strzelaniu do tarczy”, „rzutach monetą” sprowadza się do tego wzoru — tylko trzeba poprawnie zdefiniować sukces i zliczyć przypadki.

Treść zadania

Identyfikacja modelu

Wzór Bernoulliego

Punktacja CKE

Klucz — kiedy schemat Bernoulliego

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji