Zadanie 8

Strategia — oznaczenia

Ustal oznaczenia stałe w całym dowodzie:

$a = ∣ B C ∣$ , $b = ∣ C A ∣$ , $c = ∣ A B ∣$
$α = ∠ B A C$ (kąt przy wierzchołku $A$ )
$∠ A B C = 2 α$ (kąt przy $B$ , dwa razy większy z założenia)
$∠ B C A = 180° - 3 α$ (suma kątów trójkąta = 180°)

Trzeba pokazać: $b^{2} = a^{2} + c \cdot a$ .

Założenie „nie równoramienny” wyklucza przypadki, w których $α = 0°$ , $α = 60°$ albo gdzie trójkąt staje się zdegenerowany. W szczególności $sin α \neq = 0$ i $sin 3 α \neq = 0$ — będziemy mogli dzielić.

Sposób I — trygonometria (przez twierdzenie sinusów + suma sinusów)

To ścieżka bez rysunku, czysto algebraiczna. Najmniej ryzykowna.

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta $A B C$ :

$\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n 2 α} = \frac{c}{s i n ( 180° - 3 α )} = \frac{c}{s i n 3 α}$

(skorzystaliśmy z $sin (180° - x) = sin x$ ).

Wyraź $b$ przez $a$ i $α$ . Z proporcji $\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n 2 α}$ :

$b = a \cdot \frac{s i n 2 α}{s i n α} = a \cdot \frac{2 s i n α c o s α}{s i n α} = 2 a cos α$

(zastosowaliśmy wzór $sin 2 α = 2 sin α cos α$ ).

Wyraź $c$ przez $a$ i $α$ . Z proporcji $\frac{a}{s i n α} = \frac{c}{s i n 3 α}$ :

$c = a \cdot \frac{s i n 3 α}{s i n α}$

Oblicz lewą stronę tezy $b^{2}$ :

$b^{2} = (2 a cos α)^{2} = 4 a^{2} cos^{2} α$

Oblicz prawą stronę $a^{2} + c \cdot a$ :

$a^{2} + c \cdot a = a^{2} + a \cdot \frac{a s i n 3 α}{s i n α} = a^{2} \cdot (1 + \frac{s i n 3 α}{s i n α}) = a^{2} \cdot \frac{s i n α + s i n 3 α}{s i n α}$

Zastosuj wzór na sumę sinusów:

$sin α + sin 3 α = 2 sin (\frac{α + 3 α}{2}) cos (\frac{3 α - α}{2}) = 2 sin 2 α \cdot cos α$

Z $sin 2 α = 2 sin α cos α$ :

$sin α + sin 3 α = 2 \cdot 2 sin α cos α \cdot cos α = 4 sin α cos^{2} α$

Podstaw z powrotem:

$a^{2} + c \cdot a = a^{2} \cdot \frac{4 s i n α c o s ^{2} α}{s i n α} = 4 a^{2} cos^{2} α$

Porównaj:

$b^{2} = 4 a^{2} cos^{2} α = a^{2} + c \cdot a$

czyli:

$∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣ ■$

Dowód zakończony. Powyższa ścieżka działa, bo z założenia trójkąt nie jest zdegenerowany — $sin α \neq = 0$ , więc dzielenie i mnożenie ułamkami jest dozwolone.

Sposób II — geometria (przez dwusieczną kąta ABC i podobieństwo trójkątów)

Krócej, ale wymaga rysunku i znajomości twierdzenia o dwusiecznej.

Konstrukcja: poprowadź dwusieczną kąta $∠ A B C$ — przecina ona bok $A C$ w punkcie $D$ .

$∠ D B C = α$ (dwusieczna dzieli $2 α$ na dwa $α$ )
$∠ D C B = 180° - 3 α$ (kąt $C$ pełen)
$∠ B D C = 180° - α - (180° - 3 α) = 2 α$

Zatem trójkąt $C D B$ ma kąty $(α, 2 α, 180° - 3 α)$ , czyli te same kąty co trójkąt $C A B$ (ten też ma $(α, 2 α, 180° - 3 α)$ ). Trójkąty są podobne.

Niech $x = ∣ D C ∣$ . Z podobieństwa $△ C D B \sim △ C A B$ :

$\frac{x}{a} = \frac{a}{b} \Rightarrow x = \frac{a ^{2}}{b}$

Z twierdzenia o dwusiecznej w $△ A B C$ : $\frac{∣ A D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ B C ∣} = \frac{c}{a}$ , czyli:

$\frac{b - x}{x} = \frac{c}{a} \Rightarrow b - x = \frac{c x}{a} \Rightarrow b = x \cdot \frac{c + a}{a} \Rightarrow x = \frac{ab}{c + a}$

Z obu wzorów na $x$ :

$\frac{a ^{2}}{b} = \frac{ab}{c + a}$

$a^{2} (c + a) = a b^{2}$

$a (c + a) = b^{2}$

$b^{2} = a^{2} + a c \Leftrightarrow ∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣ ■$

Pułapka „nie równoramienny”

Założenie, że trójkąt nie jest równoramienny, jest istotne — wyklucza sytuacje degeneracji:

$α = 60°$ → $2 α = 120°$ , $180° - 3 α = 0°$ (zdegenerowany)
$α = 45°$ → $2 α = 90°$ , $180° - 3 α = 45° = α$ → trójkąt równoramienny

Dla $α = 45°$ teza nadal jest spełniona, ale CKE wymaga, by zdający świadomie wykluczył zdegenerowane przypadki — zwykle przez założenie $sin α \neq = 0$ i $cos α \neq = 0$ albo przez wzmiankę o nieosobliwości trójkąta.

Pułapka punktacji (uwaga z klucza CKE)

W sposobie geometrycznym przez wysokość ( $C K$ ) trzeba rozpatrzyć dwa przypadki: czy spodek $K$ leży na boku $A B$ , czy poza nim. CKE wprost: rozumowanie tylko w jednym przypadku bez stwierdzenia analogii dla drugiego → maksimum 3 pkt z 4.

W sposobie I (trygonometrycznym) i II (przez dwusieczną) tego problemu nie ma — działają jednolicie dla wszystkich konfiguracji.

Punktacja CKE

Klucz CKE wymienia 10 (!) różnych sposobów dowodu (przez podobieństwo, przez sieczną i styczną, przez trapez wpisany w okrąg z twierdzenia Ptolemeusza, przez twierdzenie cosinusów, przez Pitagorasa, przez sumę sinusów…).

Strukturę punktową dla typowego sposobu:

1 pkt — zapisanie kluczowego związku startowego (np. podobieństwo $△ C A B \sim △ C D B$ , lub $cos α = \frac{b}{2 a}$ z twierdzenia cosinusów).
2 pkt — zapisanie wzoru łączącego dwie wielkości z tezy (np. $\frac{∣ A D ∣}{x} = \frac{c}{a}$ , lub $cos α = \frac{b}{2 a}$ z tw. cosinusów).
3 pkt — sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą / dwóch równań.
4 pkt — pełne rozumowanie.

Klucz uniwersalny

Trzy najczęstsze ścieżki dowodów geometrycznych w trójkątach z kątem $2 α$ :

Twierdzenie sinusów + wzory na sin podwojonego/potrojonego — bezpieczna ścieżka algebraiczna, działa zawsze.
Dwusieczna kąta podwojonego → trójkąty podobne — krócej, wymaga rysunku.
Twierdzenie cosinusów — najszybsza dla zależności metrycznych, jeśli umiesz manipulować wzorem $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ .

Wybierz tę, której wzory pamiętasz najpewniej. Tu polecam sposób I (trygonometryczny) — najmniej miejsc do popełnienia błędu.

Treść zadania

Strategia — oznaczenia

Sposób I — trygonometria (przez twierdzenie sinusów + suma sinusów)

Sposób II — geometria (przez dwusieczną kąta ABC i podobieństwo trójkątów)

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji