Zadanie 8

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 8 - strona 12 arkusza CKE — Strona 12 arkusza CKE z trescia zadania 8. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 12

Strategia — oznaczenia

Ustal oznaczenia stałe w całym dowodzie:

$a = ∣ BC ∣$ , $b = ∣ C A ∣$ , $c = ∣ A B ∣$
$α = ∠ B A C$ (kąt przy wierzchołku $A$ )
$∠ A BC = 2 α$ (kąt przy $B$ , dwa razy większy z założenia)
$∠ BC A = 180° - 3 α$ (suma kątów trójkąta = 180°)

Trzeba pokazać: $b^{2} = a^{2} + c \cdot a$ .

Ponieważ to trójkąt, $α > 0°$ i $3 α < 180°$ , więc $sin α \neq = 0$ i $sin 3 α \neq = 0$ — będziemy mogli dzielić. (Założenie „nie równoramienny” wyklucza $α = 36°$ i $α = 45°$ ; dowód trygonometryczny z niego nie korzysta.)

Sposób I — trygonometria (przez twierdzenie sinusów + suma sinusów)

To ścieżka bez rysunku, czysto algebraiczna.

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta $A BC$ :

$\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n 2 α} = \frac{c}{s i n ( 180° - 3 α )} = \frac{c}{s i n 3 α}$

(skorzystaliśmy z $sin (180° - x) = sin x$ ).

Wyraź $b$ przez $a$ i $α$ . Z proporcji $\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n 2 α}$ :

$b = a \cdot \frac{s i n 2 α}{s i n α} = a \cdot \frac{2 s i n α c o s α}{s i n α} = 2 a cos α$

(zastosowaliśmy wzór $sin 2 α = 2 sin α cos α$ ).

Wyraź $c$ przez $a$ i $α$ . Z proporcji $\frac{a}{s i n α} = \frac{c}{s i n 3 α}$ :

$c = a \cdot \frac{s i n 3 α}{s i n α}$

Oblicz lewą stronę tezy $b^{2}$ :

$b^{2} = (2 a cos α)^{2} = 4 a^{2} cos^{2} α$

Oblicz prawą stronę $a^{2} + c \cdot a$ :

$a^{2} + c \cdot a = a^{2} + a \cdot \frac{a s i n 3 α}{s i n α} = a^{2} \cdot (1 + \frac{s i n 3 α}{s i n α}) = a^{2} \cdot \frac{s i n α + s i n 3 α}{s i n α}$

Zastosuj wzór na sumę sinusów:

$sin α + sin 3 α = 2 sin (\frac{α + 3 α}{2}) cos (\frac{3 α - α}{2}) = 2 sin 2 α \cdot cos α$

Z $sin 2 α = 2 sin α cos α$ :

$sin α + sin 3 α = 2 \cdot 2 sin α cos α \cdot cos α = 4 sin α cos^{2} α$

Podstaw z powrotem:

$a^{2} + c \cdot a = a^{2} \cdot \frac{4 s i n α c o s ^{2} α}{s i n α} = 4 a^{2} cos^{2} α$

Porównaj:

$b^{2} = 4 a^{2} cos^{2} α = a^{2} + c \cdot a$

czyli:

$∣ A C ∣^{2} = ∣ BC ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ BC ∣ ■$

Sposób II — geometria (przez dwusieczną kąta ABC i podobieństwo trójkątów)

Krócej, ale wymaga rysunku i znajomości twierdzenia o dwusiecznej.

Konstrukcja: poprowadź dwusieczną kąta $∠ A BC$ — przecina ona bok $A C$ w punkcie $D$ .

$∠ D BC = α$ (dwusieczna dzieli $2 α$ na dwa $α$ )
$∠ D CB = 180° - 3 α$ (kąt $C$ pełen)
$∠ B D C = 180° - α - (180° - 3 α) = 2 α$

Zatem trójkąt $C D B$ ma kąty $(α, 2 α, 180° - 3 α)$ , czyli te same kąty co trójkąt $C A B$ (ten też ma $(α, 2 α, 180° - 3 α)$ ). Trójkąty są podobne.

Niech $x = ∣ D C ∣$ . Z podobieństwa $△ C D B \sim △ C A B$ :

$\frac{x}{a} = \frac{a}{b} \Rightarrow x = \frac{a ^{2}}{b}$

Z twierdzenia o dwusiecznej w $△ A BC$ : $\frac{∣ A D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ BC ∣} = \frac{c}{a}$ , czyli:

$\frac{b - x}{x} = \frac{c}{a} \Rightarrow b - x = \frac{c x}{a} \Rightarrow b = x \cdot \frac{c + a}{a} \Rightarrow x = \frac{ab}{c + a}$

Z obu wzorów na $x$ :

$\frac{a ^{2}}{b} = \frac{ab}{c + a}$

$a^{2} (c + a) = a b^{2}$

$a (c + a) = b^{2}$

$b^{2} = a^{2} + a c \Leftrightarrow ∣ A C ∣^{2} = ∣ BC ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ BC ∣ ■$

Punktacja CKE

Zasady oceniania CKE opisują 10 różnych sposobów dowodu (przez podobieństwo, przez sieczną i styczną, przez trapez wpisany w okrąg z twierdzenia Ptolemeusza, przez twierdzenie cosinusów, przez Pitagorasa, przez sumę sinusów…).

Kryteria dla sposobu przez dwusieczną kąta $A BC$ (u nas sposób II, w zasadach sposób I):

1 pkt — zapisanie, że trójkąty $C A B$ i $CB D$ są podobne.
2 pkt — zapisanie jednego ze związków $\frac{∣ A D ∣}{x} = \frac{c}{a}$ albo $\frac{x}{a} = \frac{a}{b}$ .
3 pkt — zapisanie obu tych związków.
4 pkt — przeprowadzenie pełnego rozumowania.

Dla sposobów z twierdzeniem cosinusów i sumą sinusów zasady podają osobne kryteria. Uwaga z zasad: jeśli korzystasz z wysokości $C K$ i rozpatrzysz tylko jeden przypadek położenia punktu $K$ , nie stwierdzając, że drugi jest analogiczny — najwyżej 3 pkt.

Klucz uniwersalny

Trzy możliwe ścieżki dowodów geometrycznych w trójkątach z kątem $2 α$ :

Twierdzenie sinusów + wzory na sin podwojonego/potrojonego — bezpieczna ścieżka algebraiczna, działa zawsze.
Dwusieczna kąta podwojonego → trójkąty podobne — krócej, wymaga rysunku.
Twierdzenie cosinusów — najszybsza dla zależności metrycznych, jeśli umiesz manipulować wzorem $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ .

Wybierz tę, której wzory pamiętasz najpewniej.

Treść zadania

Zadanie 8. (0–4)

Rozwiązanie