Zadanie 9

Geometryczna obserwacja — F to środek ciężkości trójkąta ACD

To najważniejszy fakt tego zadania. Spójrz:

$E$ — środek boku $C D$
$G$ — przecięcie przekątnych kwadratu = środek kwadratu = środek odcinka $A C$

W trójkącie $A C D$ mamy zatem:

$A E$ — środkowa z wierzchołka $A$ do środka $E$ przeciwległego boku $C D$
$D G$ — środkowa z wierzchołka $D$ do środka $G$ przeciwległego boku $A C$ (a $D G$ leży na przekątnej $B D$ , bo $D \to G$ to fragment $B D$ )

Mediany przecinają się w środku ciężkości, więc punkt $F = A E \cap B D = A E \cap D G$ to środek ciężkości trójkąta $A C D$ .

Z własności środka ciężkości: dzieli każdą medianę w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka. Czyli $∣ D F ∣ : ∣ F G ∣ = 2 : 1$ , a $∣ A F ∣ : ∣ F E ∣ = 2 : 1$ .

Pole trójkąta AGF — przez stosunki

Oblicz pole trójkąta $A G D$ . $G$ to środek przekątnej $A C$ , więc $G$ jest środkiem kwadratu. Trójkąt $A G D$ ma wierzchołki: $A$ , środek kwadratu, $D$ — to ćwiartka kwadratu (jedno z czterech przystających trójkątów wyznaczonych przez obie przekątne):

$P_{A G D} = \frac{1}{4} a^{2}$

Wykorzystaj fakt, że $F$ leży na $D G$ i dzieli ją w stosunku $∣ D F ∣ : ∣ F G ∣ = 2 : 1$ .

Trójkąty $A GF$ i $A G D$ mają wspólny wierzchołek $A$ , a ich „podstawy” $GF$ i $G D$ leżą na tej samej prostej. Stosunek pól = stosunek podstaw:

$\frac{P _{A GF}}{P _{A G D}} = \frac{∣ GF ∣}{∣ G D ∣} = \frac{1}{3}$

(bo $∣ GF ∣ = \frac{1}{3} ∣ G D ∣$ — $F$ jest jedną trzecią drogi od $G$ do $D$ — albo równoważnie $\frac{1}{3}$ całej mediany od strony środka boku).

Stąd:

$P_{A GF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} a^{2} = \frac{a ^{2}}{12}$

Pole czworokąta CEFG — przez różnicę

Oblicz pole trójkąta $A C E$ . Trójkąt $A C E$ ma podstawę $E C = \frac{1}{2} a$ i wysokość $a$ (od $A$ do prostej $C D$ ):

$P_{A C E} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{a ^{2}}{4}$

Trójkąt $A GF$ + czworokąt $C E F G$ pokrywa trójkąt $A C E$ (dwie figury rozdzielone przez przekątną $B D$ ):

$P_{C E F G} = P_{A C E} - P_{A GF} = \frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{12} = \frac{3 a ^{2} - a ^{2}}{12} = \frac{2 a ^{2}}{12} = \frac{a ^{2}}{6}$

Odpowiedź: $P_{A GF} = \frac{a ^{2}}{12}$ , $P_{C E F G} = \frac{a ^{2}}{6}$ .

Sposób alternatywny — w układzie współrzędnych (mechanicznie)

Umieść kwadrat w układzie: $A = (0, 0)$ , $B = (a, 0)$ , $C = (a, a)$ , $D = (0, a)$ . Wtedy:

$E$ = środek $C D$ = $(\frac{a}{2}, a)$
$G$ = środek $A C$ = $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$
prosta $A E$ : $y = 2 x$
prosta $B D$ : $y = - x + a$
$F$ = przecięcie: $2 x = - x + a \Rightarrow x = \frac{a}{3}$ , $y = \frac{2 a}{3}$ . Czyli $F = (\frac{a}{3}, \frac{2 a}{3})$ .

Pola obliczamy ze wzoru wyznacznikowego (½|det|):

$P_{A GF} = \frac{1}{2} \frac{a}{2} \cdot \frac{2 a}{3} - \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{6} = \frac{a ^{2}}{12}$

$P_{A C E} = \frac{1}{2} a \cdot a - a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a ^{2}}{4}$

$P_{C E F G} = \frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{12} = \frac{a ^{2}}{6}$

Mniej geometryczne myślenie, więcej arytmetyki — ale żadnego ryzyka pomyłki o środku ciężkości.

Pułapka — F nie jest środkiem AE

Najgorszy błąd to założenie „skoro F leży na AE, to jest jej środkiem” lub „F dzieli AE w stosunku 1:1”. To nieprawda. F dzieli AE w stosunku 2:1 od strony A: $∣ A F ∣ = \frac{2}{3} ∣ A E ∣$ i $∣ F E ∣ = \frac{1}{3} ∣ A E ∣$ .

CKE wprost (uwaga 1 z klucza): jeśli przyjmiesz, że F dzieli AE/DG/BD w stosunku innym niż 2:1 — 0 punktów na całe zadanie.

Pułapka „stosunek 2:1 bez uzasadnienia”

CKE (uwaga 2): jeśli piszesz prawidłowy stosunek 2:1, ale bez uzasadnienia dlaczego — maksimum 3 pkt zamiast 4. Trzeba wyraźnie napisać: „F jest środkiem ciężkości trójkąta ACD (przecięcie median AE i DG), więc dzieli każdą medianę w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka”.

Albo użyć układu współrzędnych — tam nie ma stosunków „na czuja”, wszystko z wzorów.

Punktacja CKE

1 pkt — pokazanie z uzasadnieniem, że $∣ D F ∣ : ∣ F G ∣ = 2 : 1$ (lub równoważne stwierdzenie o podobieństwie trójkątów $A B F$ i $E D F$ w skali 2:1).
2 pkt — obliczenie jednej z długości $∣ F G ∣, ∣ D F ∣, ∣ A F ∣, ∣ F E ∣, ∣ B F ∣$ lub powiązanie pól $△ A GF$ i $△ F D E$ .
3 pkt — obliczenie pola jednej z figur ( $P_{A GF} = \frac{a ^{2}}{12}$ albo $P_{C E F G} = \frac{a ^{2}}{6}$ ).
4 pkt — pełne rozwiązanie z obiema polami.

Klucz — środek ciężkości na maturze

Dwa fakty, które warto mieć zawsze pod ręką:

Środek ciężkości trójkąta to przecięcie median. Dzieli każdą medianę w stosunku 2 : 1 od wierzchołka.
Pola trójkątów o wspólnym wierzchołku i podstawach na tej samej prostej są w stosunku długości tych podstaw (twierdzenie o polach trójkątów o wspólnej wysokości).

Te dwie reguły rozwiązują 80% zadań o polach figur w kwadracie/prostokącie podzielonym przekątnymi i odcinkami od środków boków.

Treść zadania