Zadanie 10

Strategia

Lewa strona zawiera $sin (4 x)$ i $sin (2 x)$ — wszystko z argumentem $2 x$ . Prawa strona ma $cos^{2} x$ — trzeba sprowadzić do tego samego argumentu.

Cel: doprowadzić do iloczynu typu $A (x) \cdot B (x) = 0$ , gdzie każdy czynnik jest „prostym” równaniem.

Przekształć lewą stronę. Zastosuj wzór $sin 2 α = 2 sin α cos α$ dla $α = 2 x$ :

$sin (4 x) = 2 sin (2 x) cos (2 x)$

Stąd:

$sin (4 x) - sin (2 x) = 2 sin (2 x) cos (2 x) - sin (2 x) = sin (2 x) \cdot [2 cos (2 x) - 1]$

Przekształć prawą stronę. Pamiętaj wzór $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ , czyli $2 cos^{2} α = 1 + cos 2 α$ . Stąd:

$4 cos^{2} x = 2 (2 cos^{2} x) = 2 (1 + cos 2 x) = 2 + 2 cos (2 x)$

$4 cos^{2} x - 3 = 2 + 2 cos (2 x) - 3 = 2 cos (2 x) - 1$

Zapisz całe równanie:

$sin (2 x) \cdot [2 cos (2 x) - 1] = 2 cos (2 x) - 1$

Przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz wspólny czynnik:

$sin (2 x) \cdot [2 cos (2 x) - 1] - [2 cos (2 x) - 1] = 0$

$[2 cos (2 x) - 1] \cdot [sin (2 x) - 1] = 0$

Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.

Albo $2 cos (2 x) - 1 = 0 \Leftrightarrow cos (2 x) = \frac{1}{2}$
Albo $sin (2 x) - 1 = 0 \Leftrightarrow sin (2 x) = 1$

Rozwiązanie pierwszego równania: $cos (2 x) = \frac{1}{2}$

$cos θ = \frac{1}{2}$ ma rozwiązania $θ = \pm \frac{π}{3} + 2 k π$ . Stąd $2 x = \pm \frac{π}{3} + 2 k π$ , czyli:

$x = \pm \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

W przedziale $[0, 2 π]$ wpisz kolejne $k$ :

$k = 0$ , $+$ : $x = \frac{π}{6}$ ✓
$k = 1$ , $-$ : $x = - \frac{π}{6} + π = \frac{5 π}{6}$ ✓
$k = 1$ , $+$ : $x = \frac{π}{6} + π = \frac{7 π}{6}$ ✓
$k = 2$ , $-$ : $x = - \frac{π}{6} + 2 π = \frac{11 π}{6}$ ✓

Łącznie z tego równania: $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ .

Rozwiązanie drugiego równania: $sin (2 x) = 1$

$sin θ = 1$ ma rozwiązania $θ = \frac{π}{2} + 2 k π$ . Stąd $2 x = \frac{π}{2} + 2 k π$ , czyli:

$x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

W przedziale $[0, 2 π]$ :

$k = 0$ : $x = \frac{π}{4}$ ✓
$k = 1$ : $x = \frac{5 π}{4}$ ✓

Łącznie z tego równania: $\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$ .

Wszystkie rozwiązania razem

Odpowiedź: $x \in {\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{4}, \frac{11 π}{6}}$

Sześć rozwiązań — uporządkowane rosnąco.

Pułapka rozkładu sin(4x)

Najczęstszy błąd to dwukrotne użycie wzoru $sin 2 α = 2 sin α cos α$ , rozwijając $sin (4 x)$ aż do $sin x cos x cos (2 x) \cdot 4$ . Owszem, to też prawda, ale zwiększa stopień trudności i nie pasuje do redukcji prawej strony.

Klucz: zachowaj argument $2 x$ wszędzie jak długo się da — równanie ma piękną symetrię, w której sprowadza się do iloczynu z czynnikiem $2 cos (2 x) - 1$ .

Pułapka dzielenia przez czynnik z niewiadomą

Z równania $sin (2 x) \cdot [2 cos (2 x) - 1] = 2 cos (2 x) - 1$ kuszące jest podzielić obie strony przez $2 cos (2 x) - 1$ i otrzymać $sin (2 x) = 1$ .

Niewłaściwe! Tracisz rozwiązania, dla których $2 cos (2 x) - 1 = 0$ . Bezpieczne: przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz wspólny czynnik — wtedy oba przypadki ujawniają się jako składniki iloczynu.

Pułapka — pomylenie znaku przy “minus pi/6”

Pisząc $x = \pm \frac{π}{6} + k π$ , łatwo zgubić rozwiązanie. Bezpieczna ścieżka: rozpisać osobno dwa szeregi $\frac{π}{6} + k π$ i $- \frac{π}{6} + k π$ , podstawiać $k = 0, 1, 2, \dots$ , sprawdzać czy wynik mieści się w $[0, 2 π]$ . Powtarzaj aż wyjdzie poza zakres.

Punktacja CKE

1 pkt — zastosowanie wzoru $sin (4 x) = 2 sin (2 x) cos (2 x)$ ALBO wzoru $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ (czyli redukcja jednej ze stron równania).
2 pkt — sprowadzenie obu stron do tego samego argumentu $2 x$ i przekształcenie do postaci równoważnej z czynnikiem $2 cos (2 x) - 1$ .
3 pkt — przekształcenie do iloczynu $[sin (2 x) - 1] [2 cos (2 x) - 1] = 0$ .
4 pkt — rozwiązanie jednego z dwóch równań w $[0, 2 π]$ (4 rozwiązania z $cos$ , lub 2 z $sin$ ).
5 pkt — pełne rozwiązanie + wszystkie 6 punktów.

Klucz — równania trygonometryczne z mieszanymi argumentami

Procedura uniwersalna:

Zidentyfikuj argumenty ( $x$ , $2 x$ , $4 x$ , …).
Sprowadź wszystkie do jednego argumentu używając wzorów na sin/cos podwojonego/potrojonego/itd.
Rozłóż na iloczyn zerujący się jako alternatywa prostszych równań.
Rozwiąż każdy czynnik osobno i połącz wyniki w zbiorze.

Nigdy nie dziel przez wyrażenie z niewiadomą — zawsze przenoś na jedną stronę i wyłączaj wspólny czynnik.

Treść zadania

Strategia

Rozwiązanie pierwszego równania: $cos (2 x) = \frac{1}{2}$

Rozwiązanie drugiego równania: $sin (2 x) = 1$

Wszystkie rozwiązania razem

Punktacja CKE

Klucz — równania trygonometryczne z mieszanymi argumentami

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Strategia

Rozwiązanie pierwszego równania: cos(2x)=21​

Rozwiązanie drugiego równania: sin(2x)=1

Wszystkie rozwiązania razem

Punktacja CKE

Klucz — równania trygonometryczne z mieszanymi argumentami

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Rozwiązanie pierwszego równania: $cos (2 x) = \frac{1}{2}$

Rozwiązanie drugiego równania: $sin (2 x) = 1$