Zadanie 10

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Strategia

Lewa strona zawiera $\sin (4x)$ i $\sin (2x)$ — wszystko z argumentem $2x$. Prawa strona ma ${\cos }^{2}x$ — trzeba sprowadzić do tego samego argumentu.

Cel: doprowadzić do iloczynu typu $A(x)\cdot B(x)=0$, gdzie każdy czynnik jest „prostym” równaniem.

Rozwiązanie pierwszego równania: $\cos (2x)=\frac{1}{2}$

$\cos \theta =\frac{1}{2}$ ma rozwiązania $\theta =\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$. Stąd $2x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, czyli:

$x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

W przedziale $[0,2\pi ]$ wpisz kolejne $k$:

• $k=0$, $+$: $x=\frac{\pi }{6}$ ✓
• $k=1$, $-$: $x=-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{5\pi }{6}$ ✓
• $k=1$, $+$: $x=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$ ✓
• $k=2$, $-$: $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$ ✓

Łącznie z tego równania: $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$.

Rozwiązanie drugiego równania: $\sin (2x)=1$

$\sin \theta =1$ ma rozwiązania $\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$. Stąd $2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, czyli:

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

W przedziale $[0,2\pi ]$:

• $k=0$: $x=\frac{\pi }{4}$ ✓
• $k=1$: $x=\frac{5\pi }{4}$ ✓

Łącznie z tego równania: $\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$.

Wszystkie rozwiązania razem

Sześć rozwiązań — uporządkowane rosnąco.

Punktacja CKE

• 1 pkt — zastosowanie wzoru $\sin (4x)=2\sin (2x)\cos (2x)$ ALBO wzoru $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ (czyli redukcja jednej ze stron równania).
• 2 pkt — sprowadzenie obu stron do tego samego argumentu $2x$ i przekształcenie do postaci równoważnej z czynnikiem $2\cos (2x)-1$.
• 3 pkt — przekształcenie do iloczynu $[\sin (2x)-1][2\cos (2x)-1]=0$.
• 4 pkt — rozwiązanie jednego z dwóch równań w $[0,2\pi ]$ (4 rozwiązania z $\cos$, lub 2 z $\sin$).
• 5 pkt — pełne rozwiązanie + wszystkie 6 punktów.

Klucz — równania trygonometryczne z mieszanymi argumentami

Procedura uniwersalna:

1. Zidentyfikuj argumenty ($x$, $2x$, $4x$, …).
2. Sprowadź wszystkie do jednego argumentu używając wzorów na sin/cos podwojonego/potrojonego/itd.
3. Rozłóż na iloczyn zerujący się jako alternatywa prostszych równań.
4. Rozwiąż każdy czynnik osobno i połącz wyniki w zbiorze.

Nie dziel przez wyrażenie z niewiadomą bez rozważenia przypadku, gdy jest ono równe zero (zasady oceniania: wtedy najwyżej 3 pkt) — bezpieczniej przenieść wszystko na jedną stronę i wyłączyć wspólny czynnik.