Zadanie 11

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Konfiguracja — co jest dane

Cztery elementy układu:

• prosta $y=x+1$ — na niej leży środek $S$
• okrąg o środku $S$ i promieniu $\sqrt{5}$
• punkt $A=(1,2)$ — punkt zewnętrzny ($|AS|>\sqrt{5}$)
• dwie styczne $AB$ i $AC$ — odcinki od $A$ do punktów styczności $B$ i $C$ na okręgu

Czworokąt $ABSC$ tworzą cztery wierzchołki: $A$, $B$, $S$, $C$. Jego pole jest $15$.

Klucz — własności geometryczne

Trzy fakty, na których stoi rozwiązanie:

1. Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Stąd $\angle ABS=\angle ACS=90°$.
2. Odcinki styczne z jednego punktu mają równe długości: $|AB|=|AC|$.
3. Trójkąty $ABS$ i $ACS$ są przystające (oba prostokątne, mają wspólną przeciwprostokątną $AS$ i równe boki $AB=AC$).

Czworokąt $ABSC$ to deltoid (dwa boki $SB=SC=\sqrt{5}$, dwa boki $AB=AC$). Jego pole to suma pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych.

Krok 1 — wyznacz $|AB|$ z pola czworokąta

Krok 2 — znajdź $S$ na prostej $y=x+1$ w odległości $5\sqrt{2}$ od $A$

Dlaczego dwa rozwiązania?

Geometrycznie: konfiguracja „punkt $A$ + okrąg w odległości $5\sqrt{2}$” jest symetryczna względem $A$. Środek $S$ może leżeć po jednej lub drugiej stronie $A$ wzdłuż prostej $y=x+1$ — oba położenia spełniają warunki zadania:

• $S_1=(6,7)$ — na prawo od $A$
• $S_2=(-4,-3)$ — na lewo od $A$

Treść zadania mówi „rozważ wszystkie przypadki” — dlatego ZAWSZE odpowiadamy oba.

Punktacja CKE

• 1 pkt — zapisanie $S=(x,x+1)$ ALBO układu równań z $m$, $\alpha$ ALBO równania z $m$ (np. $15=2\cdot \frac{1}{2}\cdot m\cdot \sqrt{5}$).
• 2 pkt — obliczenie $m=|AB|=3\sqrt{5}$ ALBO obliczenie $|AS|=5\sqrt{2}$.
• 3 pkt — zapisanie równania z jedną niewiadomą (np. $(x_S-1{)}^2+(x_S-1{)}^2=50$).
• 4 pkt — obliczenie obu wartości $x_S=6$ i $x_S=-4$ ALBO znalezienie obu współrzędnych dla jednego rozwiązania.
• 5 pkt — oba punkty $S=(6,7)$ i $S=(-4,-3)$.

Klucz uniwersalny

Trzy własności styczne-okrąg, które warto mieć w pamięci:

1. Styczne z jednego punktu zewnętrznego są równej długości ($|AB|=|AC|$).
2. Promień w punkcie styczności jest prostopadły do stycznej ($\angle SBA=90°$).
3. Czworokąt $A$-styczność-$S$-styczność to deltoid z polem $=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \text{styczna}\cdot \text{promienˊ}$.

Te trzy fakty rozwiązują 90% zadań „styczne z punktu zewnętrznego” — reszta to arytmetyka.