Zadanie 12

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Strategia — zadanie ma TRZY etapy

CKE oczywiście wymaga rozdzielenia rozumowania na trzy fazy:

1. Etap I (1 pkt) — warunek „dwa różne rozwiązania rzeczywiste”: $\Delta >0$.
2. Etap II (4 pkt) — przekształcenie warunku $x_1^3+x_2^3+3x_1{x}_2(x_1+x_2-3)\le 3m-7$ do nierówności z jedną niewiadomą $m$, korzystając ze wzorów Viète’a.
3. Etap III (1 pkt) — część wspólna wyników z etapów I i II.

Zacznij od I — to wyznacza dziedzinę dopuszczalnych $m$.

Etap I — warunek $\Delta >0$

To pierwszy warunek, jaki $m$ musi spełniać.

Etap II — przekształcenie nierówności

To najtrudniejsza część. Kluczowa tożsamość, którą trzeba zauważyć:

$x_1^3+x_2^3+3x_1{x}_2(x_1+x_2-3)=(x_1+x_2{)}^3-9x_1{x}_2$

Dlaczego? Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy:

$(x_1+x_2{)}^3=x_1^3+3x_1^2{x}_2+3x_1{x}_2^2+x_2^3=x_1^3+x_2^3+3x_1{x}_2(x_1+x_2)$

Stąd $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)$. Podstaw do lewej strony:

$\underset{x_1^3+x_2^3}{\underbrace{(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)}}+3x_1{x}_2(x_1+x_2)-9x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^3-9x_1{x}_2$

Trzeci wyraz $-3x_1{x}_2(x_1+x_2)$ i czwarty $+3x_1{x}_2(x_1+x_2)$ znoszą się.

Etap III — część wspólna z etapem I

Mamy dwa warunki:

• Z etapu I: $m\in (-\infty ,-3)\cup (1,+\infty )$
• Z etapu II: $m\in (-\infty ,\frac{1}{3}]$

Część wspólna:

$\left[(-\infty ,-3)\cup (1,+\infty )\right]\cap (-\infty ,\frac{1}{3}]$

Rozbij na dwie części:

• $(-\infty ,-3)\cap (-\infty ,\frac{1}{3}]=(-\infty ,-3)$ (cały lewy fragment mieści się)
• $(1,+\infty )\cap (-\infty ,\frac{1}{3}]=\varnothing$ (bo $1>\frac{1}{3}$)

Suma:

$m\in (-\infty ,-3)$

Punktacja CKE — pełny rozkład

Etap I (1 pkt): poprawne rozwiązanie $\Delta >0$ → $m\in (-\infty ,-3)\cup (1,+\infty )$.

Etap II (4 pkt):

• 1 pkt — przekształcenie nierówności do postaci $(x_1+x_2{)}^3-9x_1{x}_2\le 3m-7$ (pozwalające na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a).
• 2 pkt — zapisanie nierówności z jedną niewiadomą $m$: $(3m+1{)}^3-9(2m^2+m+1)\le 3m-7$.
• 3 pkt — sprowadzenie do postaci iloczynowej $W(m)\le 0$, np. $(3m-1)(3m+1{)}^2\le 0$.
• 4 pkt — rozwiązanie nierówności: $m\in (-\infty ,\frac{1}{3}]$.

Etap III (1 pkt): część wspólna → $m\in (-\infty ,-3)$.

Klucz — zadania z parametrem na rozszerzonej

Typowy schemat:

1. Wyróżnik ($\Delta >0$ lub $\ge 0$, w zależności od „różne”) → pierwszy zakres $m$.
2. Symetryczne wyrażenia z $x_1,x_2$ sprowadź do $x_1+x_2$ i $x_1{x}_2$ używając tożsamości:
   • $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$
   • $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)$
   • $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$
3. Zastosuj Viète’a ($x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$) → drugi zakres.
4. Część wspólna dwóch zakresów.

To scenariusz 80% zadań „z parametrem” w PR.