m Matura-Online.pl Rozwiązania zadań maturalnych

MMAP-P0-100-2505 • Zamknięte (ABCD) • 1 pkt • Trudność: ★★★☆☆

Zadanie 19

Matura z matematyki, maj 2025, poziom podstawowy

Wymaganie:

VIII.5 — własności kątów wpisanych i środkowych w okręgu.

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkty $A$ , $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$ . Miara kąta $BC A$ jest równa $50°$ . Miara kąta ostrego $∠ A BO$ jest równa

A.

20°

B.

35°

C.

40°

D.

50°

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

C — $40°$

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd to wybór D (50°) — pomylenie kąta ABO z kątem ACB. To DWA RÓŻNE kąty: ACB to kąt wpisany trójkąta ABC, a ABO to kąt w trójkącie AOB (gdzie O to środek okręgu).

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 19 - strona 19 arkusza CKE — Strona 19 arkusza CKE z trescia zadania 19. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 19

Klucz — dwa fakty

Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym: kąt środkowy oparty na łuku jest dwa razy większy niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.
Trójkąt utworzony z dwóch promieni (i cięciwy) jest równoramienny — kąty przy podstawie są równe.

Kąt wpisany $∠ BC A = 50°$ jest oparty na łuku $A B$ (tym, który nie zawiera $C$ ).

Kąt środkowy $∠ BO A$ oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:

$∠ A OB = 2 \cdot ∠ BC A = 2 \cdot 50° = 100°$

Trójkąt $A OB$ jest równoramienny — bo $O A = OB$ (oba to promienie okręgu). Kąty przy podstawie $A B$ są równe:

$∠ O A B = ∠ OB A$

Suma kątów trójkąta $A OB$ = $180°$ :

$∠ A OB + ∠ O A B + ∠ OB A = 180°$

$100° + 2 \cdot ∠ OB A = 180°$

$2 \cdot ∠ OB A = 80° \Rightarrow ∠ OB A = 40°$

Kąt $∠ A BO$ to to samo co $∠ OB A$ (te same dwa ramiona, ten sam wierzchołek $B$ ). Więc:

$∠ A BO = 40°$

Klucz uniwersalny

Każde zadanie „okrąg + kąty + środek” sprowadza się do dwóch reguł:

Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oba oparte na tym samym łuku)
Trójkąt z dwóch promieni jest równoramienny (kąty przy podstawie równe)

Tu zastosowaliśmy obie:

Z reguły 1: $∠ A OB = 100°$
Z reguły 2: $∠ O A B = ∠ OB A = (180° - 100°) /2 = 40°$

To samo rozwiązanie co dla zad 22 z arkusza 2024 maj PP — identyczny schemat, tylko inne liczby.

Podobne zadania

planimetria, kąty wpisane i środkowe w okręgu

Zadanie 22 (1 pkt)

maj 2024 • PP

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W trójkącie ABC wpisanym w okrąg o środku S kąt ACB ma miarę 42°. Wybierz miarę kąta ostrego BAS **A.** 42° **B.** 45° **C.** 48° **D.** 69°

trygonometria w trójkącie prostokątnym, środkowa

Zadanie 18 (2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ (z wierzchołka $C$ do środka $AB$) ma długość $5$. Kąt $ADC$ oznaczamy $\alpha$, kąt $ABC$ — $\beta$. Zadanie ma dwie części. **18.1** (1 pkt): $\tan \alpha$ — wybierz **A.** $\tfrac{2}{3}$ **B.** $\tfrac{3}{4}$ **C.** $\tfrac{4}{5}$ **D.** $\tfrac{4}{3}$. **18.2** (1 pkt): $\sin \beta$ — wybierz A. $\tfrac{2}{\sqrt{13}}$, B. $\tfrac{3}{\sqrt{13}}$, C. $\tfrac{5}{2\sqrt{13}}$, D. $\tfrac{4}{5}$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „planimetria, kąt środkowy i wpisany" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl