Zadanie 20 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2025, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie równoramiennym $A BC$ dane są: $∣ A C ∣ = ∣ BC ∣ = 4$ oraz $∣ A B ∣ = 3$ . Na boku $BC$ , między punktami $B$ i $C$ , wybrano punkt $D$ tak, że trójkąty $A BC$ i $B D A$ są podobne. Długość odcinka $B D$ jest równa

2

2, 25

2, 5

3

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

B — $∣ B D ∣ = 2, 25 = \frac{9}{4}$

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd to przyjęcie złej kolejności wierzchołków w podobieństwie. ABC ~ BDA oznacza A↔B, B↔D, C↔A — z tego wynika konkretna proporcja boków. Pomylenie kolejności daje inne równanie i inny wynik.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 20 - strona 20 arkusza CKE — Strona 20 arkusza CKE z trescia zadania 20. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 20

Klucz — co znaczy “trójkąty podobne ABC ~ BDA”?

Notacja $△ A BC \sim △ B D A$ oznacza, że odpowiadające sobie wierzchołki są w tej samej kolejności:

$A \leftrightarrow B, B \leftrightarrow D, C \leftrightarrow A$

A więc odpowiadające sobie boki:

bok $A B$ (między A i B) ↔ bok $B D$ (między B i D)
bok $BC$ (między B i C) ↔ bok $D A$ (między D i A)
bok $A C$ (między A i C) ↔ bok $B A$ (między B i A)

Z podobieństwa wynika, że stosunki boków odpowiadających są równe:

$\frac{∣ A B ∣}{∣ B D ∣} = \frac{∣ BC ∣}{∣ D A ∣} = \frac{∣ A C ∣}{∣ B A ∣}$

Podstaw znane długości ( $∣ A C ∣ = 4$ , $∣ A B ∣ = 3$ , $∣ BC ∣ = 4$ ) do pierwszej i ostatniej proporcji:

$\frac{∣ A B ∣}{∣ B D ∣} = \frac{∣ A C ∣}{∣ B A ∣}$

$\frac{3}{∣ B D ∣} = \frac{4}{3}$

Rozwiąż na $∣ B D ∣$ :

$∣ B D ∣ = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2, 25$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „planimetria, podobieństwo trójkątów" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Klucz — co znaczy “trójkąty podobne ABC ~ BDA”?

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji