m Matura-Online.pl Rozwiązania zadań maturalnych

MMAP-P0-100-2505 • Zamknięte (ABCD) • 1 pkt • Trudność: ★★☆☆☆

Zadanie 4

Matura z matematyki, maj 2025, poziom podstawowy

Wymaganie:

II.1 — stosuje wzory skróconego mnożenia na: $(a + b)^{2}$ , $(a - b)^{2}$ , $a^{2} - b^{2}$ ; II.2 — dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych.

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3 x + 2)^{2} - (2 x - 3)^{2}$ jest równa wartości wyrażenia

A.

5 x^{2} - 5

B.

5 x^{2} + 13

C.

5 x^{2} + 24 x - 5

D.

5 x^{2} + 24 x - 13

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

C — $5 x^{2} + 24 x - 5$

Typowy błąd / pułapka

Łatwo pomylić znak przy odejmowaniu drugiego nawiasu. $- (2 x - 3)^{2}$ to „minus cały kwadrat”, więc rozwiniesz $(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ i ODEJMIESZ to całkowicie: $- 4 x^{2} + 12 x - 9$ . Łatwo zgubić znak przy -12x lub +9.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 4 - strona 5 arkusza CKE — Strona 5 arkusza CKE z trescia zadania 4. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 5

Strategia

Można rozwinąć oba kwadraty oddzielnie albo użyć wzoru różnicy kwadratów $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Pokażę oba sposoby.

Sposób I — rozwinięcie kwadratów (mechaniczne)

Rozwiń pierwszy kwadrat: $(3 x + 2)^{2}$ ze wzoru $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ :

$(3 x + 2)^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4$

Rozwiń drugi kwadrat: $(2 x - 3)^{2}$ ze wzoru $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ :

$(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$

Odejmij — uwaga na znak całego drugiego nawiasu:

$(3 x + 2)^{2} - (2 x - 3)^{2} = (9 x^{2} + 12 x + 4) - (4 x^{2} - 12 x + 9)$

Rozwiń odejmowanie nawiasu (każdy znak w drugim nawiasie zmienia się na przeciwny):

$= 9 x^{2} + 12 x + 4 - 4 x^{2} + 12 x - 9 = 5 x^{2} + 24 x - 5$

Sposób II — wzór różnicy kwadratów

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , gdzie $a = 3 x + 2$ , $b = 2 x - 3$ .

$a - b = (3 x + 2) - (2 x - 3) = x + 5$

$a + b = (3 x + 2) + (2 x - 3) = 5 x - 1$

$(3 x + 2)^{2} - (2 x - 3)^{2} = (x + 5) (5 x - 1) = 5 x^{2} - x + 25 x - 5 = 5 x^{2} + 24 x - 5$

Ten sam wynik, w 3 linijkach zamiast 5.

Sprawdzenie liczbowe

Dla $x = 1$ :

Lewa: $(3 + 2)^{2} - (2 - 3)^{2} = 25 - 1 = 24$
C: $5 + 24 - 5 = 24$ ✓
D: $5 + 24 - 13 = 16$ ✗

Jednoznaczne — C pasuje, D nie. Sprawdzenie liczbowe to szybka weryfikacja odpowiedzi.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „wzory skróconego mnożenia” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl