Zadanie 2

Matura z matematyki, maj 2025, poziom podstawowy

Wymaganie:

I.4 — stosowanie praw działań na potęgach.

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{5 ^{12} + 5 ^{13} + 5 ^{14}}{5 ^{12}}$ jest równa

30

31

5^{12}

5^{27}

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

B — 31

Typowy błąd / pułapka

Odpowiedź D ( $5^{27}$ ) bierze się z błędnego założenia $5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{39}$ — przy dodawaniu potęg wykładników się nie dodaje. Odpowiedź A ( $30$ ) to pominięcie składnika $\frac{5 ^{12}}{5 ^{12}} = 1$ . Każdy składnik licznika dzielimy przez $5^{12}$ : $5^{0} + 5^{1} + 5^{2} = 1 + 5 + 25 = 31$ .

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 2 - strona 4 arkusza CKE — Strona 4 arkusza CKE z trescia zadania 2. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 4

Strategia

Wyciągnij wspólny czynnik $5^{12}$ z licznika — wtedy skróci się z mianownikiem.

Wyciągnij $5^{12}$ z licznika. Zauważ:

$5^{13} = 5^{12} \cdot 5$
$5^{14} = 5^{12} \cdot 5^{2} = 5^{12} \cdot 25$

Stąd:

$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12} \cdot (1 + 5 + 25) = 5^{12} \cdot 31$

Podstaw do ułamka i skróć:

$\frac{5 ^{12} + 5 ^{13} + 5 ^{14}}{5 ^{12}} = \frac{5 ^{12} \cdot 31}{5 ^{12}} = 31$

Klucz uniwersalny

Gdy widzisz sumę potęg tej samej podstawy podzieloną przez potęgę — wyciąganie wspólnego czynnika daje liczbę całkowitą.

Wzór ogólny: $\frac{a ^{n} + a ^{n + 1} + a ^{n + 2} + \dots + a ^{n + k}}{a ^{n}} = 1 + a + a^{2} + \dots + a^{k}$ . Suma w nawiasie to zwykła suma geometryczna — łatwa do policzenia.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „potęgi, prawa działań” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl