Zadanie 25

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Klucz — co to „kąt rozwarcia stożka”?

Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym — czyli kąt między dwiema przeciwległymi tworzącymi widziany od wierzchołka.

Jeśli kąt rozwarcia to $2\alpha$, to połowa tego kąta to kąt między tworzącą a osią stożka (czyli wysokością):

$\alpha =\frac{\text{kąt rozwarcia}}{2}=\frac{120°}{2}=60°$

Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez:

• oś stożka (wysokość $h$) — pionowa
• promień podstawy ($r$) — poziomy
• tworzącą ($l=8$) — przeciwprostokątna

mamy:

$\sin \alpha =\frac{r}{l},\cos \alpha =\frac{h}{l}$

Punktacja CKE (w skrócie, wg zasad oceniania 2025)

• 1 pkt — m.in. zapisanie promienia $r=4\sqrt{3}$ ALBO wysokości $H=4$ ALBO $r^2=48$ ALBO układu równań pozwalającego obliczyć $r$ i $H$.
• 2 pkt — m.in. zapisanie $r=4\sqrt{3}$ (lub $r^2=48$) oraz $H=4$.
• 3 pkt — zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik $V=64\pi$.

Klucz uniwersalny — stożek

Każde zadanie o stożku ma trzy podstawowe wielkości:

• $l$ — tworząca
• $r$ — promień podstawy
• $h$ — wysokość

Związek Pitagorasem: $l^2=r^2+h^2$. Wystarczy znać dwie, żeby obliczyć trzecią.

Kąt rozwarcia $2\alpha$ daje dodatkową relację: $\sin \alpha =r/l$, $\cos \alpha =h/l$. Jeśli wiesz tylko $l$ i kąt, dostajesz wszystko.

Wzory: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$, pole boczne $P_b=\pi rl$, pole całkowite $P=\pi r(r+l)$.