Zadanie 25

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 25 - strona 24 arkusza CKE — Strona 24 arkusza CKE z trescia zadania 25. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 24

Klucz — co to “kąt rozwarcia stożka”?

Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym — czyli kąt między dwiema przeciwległymi tworzącymi widziany od wierzchołka.

Jeśli kąt rozwarcia to $2 α$ , to połowa tego kąta to kąt między tworzącą a osią stożka (czyli wysokością):

$α = \frac{k ą t rozwarcia}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$

Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez:

oś stożka (wysokość $h$ ) — pionowa
promień podstawy ( $r$ ) — poziomy
tworzącą ( $l = 8$ ) — przeciwprostokątna

mamy:

$sin α = \frac{r}{l}, cos α = \frac{h}{l}$

Oblicz promień podstawy. $α = 60°$ , $l = 8$ .

$r = l sin α = 8 sin 60° = 8 \cdot \frac{3}{2} = 43$

Oblicz wysokość.

$h = l cos α = 8 cos 60° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

Sprawdź Pitagorasem. $r^{2} + h^{2} = 48 + 16 = 64 = 8^{2} = l^{2}$ ✓

Zastosuj wzór na objętość stożka:

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 48 \cdot 4 = \frac{192 π}{3} = 64 π$

Punktacja CKE (typowa dla zadań na 3 pkt z obliczeniami)

1 pkt — wyznaczenie kąta między tworzącą a osią (lub między tworzącą a podstawą) oraz/lub jednego z parametrów ( $r$ lub $h$ ).
2 pkt — wyznaczenie obu $r$ i $h$ .
3 pkt — pełna metoda + wynik $V = 64 π$ .

Klucz uniwersalny — stożek

Każde zadanie o stożku ma trzy podstawowe wielkości:

$l$ — tworząca
$r$ — promień podstawy
$h$ — wysokość

Związek Pitagorasem: $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ . Wystarczy znać dwie, żeby obliczyć trzecią.

Kąt rozwarcia $2 α$ daje dodatkową relację: $sin α = r / l$ , $cos α = h / l$ . Jeśli wiesz tylko $l$ i kąt, dostajesz wszystko.

Wzory: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ , pole boczne $P_{b} = π r l$ , pole całkowite $P = π r (r + l)$ .

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Klucz — co to “kąt rozwarcia stożka”?

Punktacja CKE (typowa dla zadań na 3 pkt z obliczeniami)

Klucz uniwersalny — stożek

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji