Zadanie 24

Matura z matematyki, maj 2025, poziom podstawowy

Wymaganie:

IX.6 — równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P = (0, 0)$ leży na okręgu $O$ o środku w punkcie $S = (2, 4)$ . Okrąg $O$ jest określony równaniem

(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 25

(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 20

(x + 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 25

(x + 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 20

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

B — $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 20$

Typowy błąd / pułapka

Dwa typowe błędy: (1) używanie $25$ (czyli promienia) zamiast $20$ (czyli $r^{2}$ ) po prawej stronie. (2) Pomylenie znaków: środek $(a, b)$ w równaniu daje $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ , MINUS, nie plus.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 24 - strona 23 arkusza CKE — Strona 23 arkusza CKE z trescia zadania 24. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 23

Klucz — równanie okręgu

Okrąg o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ ma równanie:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Trzy ważne fakty:

MINUS w nawiasach (znak przeciwny do znaku współrzędnych środka)
po prawej stronie $r^{2}$ (kwadrat promienia), nie $r$
jeśli środek to $(0, 0)$ , równanie upraszcza się do $x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Oblicz promień $r$ z faktu, że $P = (0, 0)$ leży na okręgu (czyli $∣ PS ∣ = r$ ):

$r = ∣ PS ∣ = (0 - 2)^{2} + (0 - 4)^{2} = 4 + 16 = 20$

Zapisz równanie z $S = (2, 4)$ i $r^{2} = 20$ :

$(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 20$

Podobne zadania

geometria analityczna, kwadrat, odległość punktów

Zadanie 22 (1 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD$, w którym $A = (4, -1)$. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S = (1, 3)$. Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość **A.** $5$ **B.** $7$ **C.** $10$ **D.** $14$

geometria analityczna, okrąg, styczne, deltoid

Zadanie 11 (5 pkt)

maj 2024 • PR

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y = x + 1$. Przez punkt $A = (1, 2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach — odpowiednio — $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$. ### Zadanie 11. (0–5) **Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.**

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „geometria analityczna, równanie okręgu" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl