Zadanie 22 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2025, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $A BC D$ , w którym $A = (4, - 1)$ . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S = (1, 3)$ . Przekątna kwadratu $A BC D$ ma długość

5

7

10

14

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

C — przekątna ma długość $10$

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd to obliczenie |AS| i wybranie tej wartości jako odpowiedzi. |AS| to POŁOWA przekątnej (bo S to środek przekątnych), więc cała przekątna = 2·|AS|.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 22 - strona 22 arkusza CKE — Strona 22 arkusza CKE z trescia zadania 22. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 22

Klucz — własność przekątnych kwadratu

W kwadracie przekątne przecinają się w punkcie środkowym — czyli $S$ jest środkiem obu przekątnych. W szczególności $S$ jest środkiem przekątnej $A C$ , co oznacza:

$∣ A S ∣ = ∣ SC ∣ = \frac{1}{2} ∣ A C ∣$

Inaczej: cała przekątna $∣ A C ∣ = 2 \cdot ∣ A S ∣$ .

Oblicz $∣ A S ∣$ z wzoru na odległość punktów $A = (4, - 1)$ , $S = (1, 3)$ :

$∣ A S ∣ = (4 - 1)^{2} + (- 1 - 3)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

Przekątna = 2 × $∣ A S ∣$ :

$∣ A C ∣ = 2 \cdot 5 = 10$

Klucz uniwersalny

Każde zadanie „kwadrat / prostokąt / równoległobok + punkt przecięcia przekątnych” sprowadza się do:

Punkt przecięcia $S$ jest środkiem każdej z przekątnych (własność równoległoboku).
Jeśli znasz $A$ i $S$ , wyznaczasz $C$ ze wzoru na środek odcinka: $C = 2 S - A$ .
Długość przekątnej = $2 \cdot ∣ A S ∣$ .

Tu nie musimy nawet znajdować pozostałych wierzchołków $B, C, D$ — wystarcza $∣ A S ∣$ .

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „geometria analityczna, kwadrat, odległość punktów" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl