Zadanie 21

Treść zadania

Dany jest trójkąt $A BC$ , w którym $∣ A B ∣ = 11$ , $∣ BC ∣ = 12$ oraz $∠ A BC = 60°$ . Oceń prawdziwość (P/F): (1) trójkąt $A BC$ jest równoramienny; (2) pole trójkąta $A BC$ jest równe $333$ .

Trójkąt ABC z bokami |AB| = 11 i |BC| = 12 oraz kątem ABC o mierze 60°. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505 Oryginalny PDF CKE, str. 21

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

(1) F (nie jest równoramienny) • (2) P (pole = 33√3) — czyli F P

Typowy błąd / pułapka

Pułapka w (1): zakładanie, że ABC jest równoramienny, „bo dwa boki są bliskie wartością” (11 i 12). Trzeba OBLICZYĆ trzeci bok i sprawdzić. W (2): pomylenie wzoru na pole — używać sinusa kąta MIĘDZY danymi bokami.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 21 - strona 21 arkusza CKE — Strona 21 arkusza CKE z trescia zadania 21. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 21

Klucz — dwa wzory na trójkąt

Dla dowolnego trójkąta o bokach $a$ , $b$ i kącie $γ$ między nimi:

Twierdzenie cosinusów: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ (trzeci bok)
Pole: $P = \frac{1}{2} ab sin γ$

Tu mamy $a = ∣ A B ∣ = 11$ , $b = ∣ BC ∣ = 12$ , $γ = ∠ A BC = 60°$ (kąt między tymi bokami). Trzeci bok to $∣ A C ∣$ .

Stwierdzenie (1) — czy trójkąt równoramienny?

Oblicz $∣ A C ∣$ z twierdzenia cosinusów.

$∣ A C ∣^{2} = 1 1^{2} + 1 2^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot cos 60°$

$∣ A C ∣^{2} = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2} = 265 - 132 = 133$

$∣ A C ∣ = 133 \approx 11, 53$

Sprawdź, czy są dwa równe boki. Boki: $11$ , $12$ , $133$ .

$133 \approx 11, 53$ — nie równa się ani $11$ , ani $12$ . Trójkąt NIE jest równoramienny.

Stwierdzenie (1): FAŁSZ.

Stwierdzenie (2) — czy pole = $333$ ?

Zastosuj wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{3}{2}$

$P = 66 \cdot \frac{3}{2} = 333$

Stwierdzenie (2): PRAWDA.

Klucz pamięciowy — $sin 60° = \frac{3}{2}$

Wartość $sin 60° = \frac{3}{2}$ (i $cos 60° = \frac{1}{2}$ ) przydaje się w każdym trójkącie z kątem $60°$ , także w trójkącie równobocznym.

Wartości dla kątów $30°$ , $45°$ i $60°$ podaje tabela w „Wybranych wzorach matematycznych” CKE; tam są też twierdzenie cosinusów i wzór na pole trójkąta z sinusem.

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Klucz — dwa wzory na trójkąt

Stwierdzenie (1) — czy trójkąt równoramienny?

Stwierdzenie (2) — czy pole = $333$ ?

Klucz pamięciowy — $sin 60° = \frac{3}{2}$

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Klucz — dwa wzory na trójkąt

Stwierdzenie (1) — czy trójkąt równoramienny?

Stwierdzenie (2) — czy pole = 333​?

Klucz pamięciowy — sin60°=23​​

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Stwierdzenie (2) — czy pole = $333$ ?

Klucz pamięciowy — $sin 60° = \frac{3}{2}$