Zadanie 26 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2025, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość sześcianu jest równa $729$ . Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

93

92

33

32

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

A — $93$

Typowy błąd / pułapka

Pułapka: pomylenie przekątnej sześcianu z przekątną ściany (odpowiedź B). Przekątna sześcianu (3D, łączy przeciwległe wierzchołki przez wnętrze) = $a 3$ . Przekątna ściany (2D, na jednej ścianie) = $a 2$ .

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 26 - strona 25 arkusza CKE — Strona 25 arkusza CKE z trescia zadania 26. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 25

Klucz — sześcian i jego przekątne

Sześcian o boku $a$ ma:

Objętość: $V = a^{3}$
Przekątna ściany (na jednej ścianie, łączy przeciwległe wierzchołki kwadratu): $d_{\overset{s}{ˊ} ciana} = a 2$
Przekątna sześcianu (przez wnętrze, łączy przeciwległe wierzchołki bryły): $d_{sze \overset{s}{ˊ} cian} = a 3$

Wzór $a 3$ pochodzi z dwukrotnego zastosowania Pitagorasa: najpierw na ścianie ( $d_{1} = a 2$ ), potem do wysokości ( $d^{2} = d_{1}^{2} + a^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2}$ ).

Oblicz bok sześcianu z objętości:

$a^{3} = 729 \Rightarrow a = 3729 = 9$

(bo $9^{3} = 729$ ).

Zastosuj wzór na przekątną sześcianu:

$d = a 3 = 93$

Klucz pamięciowy

Bryła	Bok	Przekątna ściany	Przekątna bryły
Kwadrat (2D)	$a$	—	$a 2$
Sześcian (3D)	$a$	$a 2$	$a 3$
Prostopadłościan $a \times b \times c$	—	—	$a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Wzór $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ to uogólnienie, działa zawsze. Dla sześcianu $a = b = c$ , więc $3 a^{2} = a 3$ . Wzór znaleziony.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „stereometria, sześcian, przekątna” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl