Zadanie 11

Zadanie 11

Matura z matematyki, maj 2025, poziom podstawowy

Wymaganie:

V.4 — odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby; I.6 — posługuje się pojęciem przedziału liczbowego.

Treść zadania

Funkcja $f$ jest określona następująco: $f (x) = x + 5$ dla $x \in ⟨ - 4, - 2 ⟩$ , $f (x) = 3$ dla $x \in (- 2, 2 ⟩$ , $f (x) = - 3 x + 9$ dla $x \in (2, 4)$ . Wykres przedstawiono w układzie współrzędnych (trzy odcinki; punkt $(4, - 3)$ zaznaczony pustym kółkiem). Uzupełnij cztery zdania (wpisz przedziały): (1) dziedzina $f$ , (2) zbiór wartości $f$ , (3) zbiór argumentów, dla których $f$ przyjmuje wartości dodatnie, (4) zbiór rozwiązań równania $f (x) = 3$ .

Wykres funkcji y = f(x) złożony z trzech odcinków na siatce w kartezjańskim układzie współrzędnych; punkt (4, −3) zaznaczony pustym kółkiem. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505 Oryginalny PDF CKE, str. 11

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

(1) $⟨ - 4, 4)$ • (2) $(- 3, 3 ⟩$ • (3) $⟨ - 4, 3)$ • (4) $⟨ - 2, 2 ⟩$

Typowy błąd / pułapka

Trzeci wzór obowiązuje dla $x \in (2, 4)$ — przedział jest otwarty z prawej, a na wykresie punkt $(4, - 3)$ ma puste kółko. Dlatego $4$ nie należy do dziedziny, a $- 3$ nie należy do zbioru wartości. Druga pułapka: zbiór wartości to przedział możliwych $y$ , NIE przedział $x$ . Trzecia: $f (3) = 0$ , a zero nie jest liczbą dodatnią, więc w zdaniu 3 przedział jest otwarty przy $3$ .

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 11 - strona 11 arkusza CKE — Strona 11 arkusza CKE z trescia zadania 11. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 11

Klucz — co czytamy z wykresu

Trzy sklejone fragmenty:

odcinek rosnący od $(- 4, 1)$ do $(- 2, 3)$ — wzór $f (x) = x + 5$
odcinek poziomy na wysokości $y = 3$ od $(- 2, 3)$ do $(2, 3)$
odcinek malejący od $(2, 3)$ do $(4, - 3)$ — wzór $f (x) = - 3 x + 9$ ; punkt $(4, - 3)$ do wykresu nie należy (puste kółko, bo $4 \in / (2, 4)$ )

(Wartości: $f (- 4) = - 4 + 5 = 1$ , $f (2) = 3$ ; na przedziale $(2, 4)$ wzór $- 3 x + 9$ daje wszystkie wartości z przedziału $(- 3, 3)$ , ale wartości $- 3$ funkcja nie przyjmuje).

Cztery zdania — uzupełnienie

(1) Dziedzina $f$ . To zbiór wszystkich $x$ , dla których $f$ jest określona. Łącząc trzy przedziały: $⟨ - 4, - 2 ⟩ \cup (- 2, 2 ⟩ \cup (2, 4)$ — sklejają się w jeden przedział:

$D_{f} = ⟨ - 4, 4)$

(domknięty z lewej, bo $f (- 4) = 1$ istnieje; otwarty z prawej, bo $4$ nie należy do przedziału $(2, 4)$ ).

(2) Zbiór wartości $f$ . To zbiór wszystkich $y$ , jakie $f$ przyjmuje. Z wykresu:

największa wartość: $3$ (przyjmowana na całym odcinku poziomym)
na dole wykres zbliża się do $- 3$ , ale punkt $(4, - 3)$ nie należy do wykresu, więc wartości $- 3$ funkcja nie przyjmuje; wszystkie wartości z $(- 3, 3)$ są przyjmowane na przedziale $(2, 4)$

$Zbi \overset{o}{ˊ} r warto \overset{s}{ˊ} ci = (- 3, 3 ⟩$

(3) Zbiór argumentów, dla których $f (x) > 0$ (czyli dodatnich wartości).

Z wykresu: $f$ jest dodatnia tam, gdzie wykres jest nad osią $OX$ . Sprawdźmy:

na $⟨ - 4, - 2 ⟩$ wzór $f (x) = x + 5$ : $f (- 4) = 1 > 0$ , $f (- 2) = 3 > 0$ → cały odcinek dodatni
na $(- 2, 2 ⟩$ — wartość $3 > 0$ → cały odcinek dodatni
na $(2, 4)$ — wzór $f (x) = - 3 x + 9$ : $- 3 x + 9 > 0 ⟺ x < 3$ , a $f (3) = 0$ . Dodatnia dla $x \in (2, 3)$ , zerowa dla $x = 3$ , ujemna dla $x \in (3, 4)$ .

Łącznie: od $- 4$ (włącznie) do $3$ . Czy $3$ wliczać? Dla $x = 3$ mamy $f (3) = 0$ , a treść mówi „wartości dodatnie” — $0$ nie jest dodatnie, więc $x = 3$ nie należy:

${x : f (x) > 0} = ⟨ - 4, 3)$

Tak samo podają zasady oceniania CKE: przedział $[- 4, 3)$ .

(4) Zbiór rozwiązań równania $f (x) = 3$ .

Z wykresu szukamy gdzie funkcja przyjmuje wartość $3$ :

na $⟨ - 4, - 2 ⟩$ : $x + 5 = 3 \Rightarrow x = - 2$ (granica przedziału, należy do tego fragmentu)
na $(- 2, 2 ⟩$ : $f (x) = 3$ dla wszystkich $x$ z tego przedziału (poziomy odcinek)
na $(2, 4)$ : $- 3 x + 9 = 3 \Rightarrow x = 2$ , ale $2 \in / (2, 4)$ (otwarty z lewej)

Łącznie: $x = - 2$ + cały przedział $(- 2, 2 ⟩$ = $⟨ - 2, 2 ⟩$ .

${x : f (x) = 3} = ⟨ - 2, 2 ⟩$

Punktacja CKE

1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie → 4 pkt za wszystkie cztery.
Klucz CKE: 1. $[- 4, 4)$ ; 2. $(- 3, 3]$ ; 3. $[- 4, 3)$ ; 4. $[- 2, 2]$ (zapis $[]$ w zasadach CKE = $⟨ ⟩$ ).

Klucz — funkcje sklejane

W funkcji sklejanej (definiowanej różnymi wzorami na różnych przedziałach):

Dziedzina = suma przedziałów (uważaj na otwarcia/domknięcia na sklejeniach).
Zbiór wartości = wartości funkcji na każdym fragmencie, połączone.
Miejsca zerowe = sprawdź każdy fragment osobno, czy znika.
Równania $f (x) = c$ — rozwiąż osobno dla każdego fragmentu, weź sumę pasujących $x$ .

Zawsze patrz na granice fragmentów — sklejone czy nie? To decyduje o otwartych vs domkniętych nawiasach.