Zadanie 11

Treść zadania

Funkcja $f$ jest określona następująco: $f (x) = x + 5$ dla $x \in ⟨ - 4, - 2 ⟩$ , $f (x) = 3$ dla $x \in (- 2, 2 ⟩$ , $f (x) = - 3 x + 9$ dla $x \in (2, 4 ⟩$ . Wykres przedstawiono w układzie współrzędnych (trzy odcinki sklejone). Uzupełnij cztery zdania: (1) dziedzina $f$ , (2) zbiór wartości $f$ , (3) zbiór argumentów, dla których $f > 0$ , (4) zbiór rozwiązań równania $f (x) = 3$ .

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

(1) $⟨ - 4, 4 ⟩$ • (2) $⟨ - 3, 3 ⟩$ • (3) $⟨ - 4, 3 ⟩$ • (4) $⟨ - 2, 2 ⟩$

Typowy błąd / pułapka

CKE wprost: jeśli pomylisz porządek liczb w przedziale (np. $⟨ 4, - 4 ⟩$ zamiast $⟨ - 4, 4 ⟩$ ) — dostajesz 1 pkt za to konkretne zdanie zamiast 0 (kryterium dyskalkulii). Druga pułapka: zbiór wartości to przedział możliwych $y$ , NIE przedział $x$ .

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 11 - strona 11 arkusza CKE — Strona 11 arkusza CKE z trescia zadania 11. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 11

Klucz — co czytamy z wykresu

Trzy sklejone fragmenty:

odcinek rosnący od $(- 4, 1)$ do $(- 2, 3)$ — wzór $f (x) = x + 5$
odcinek poziomy na wysokości $y = 3$ od $(- 2, 3)$ do $(2, 3)$
odcinek malejący od $(2, 3)$ do $(4, - 3)$ — wzór $f (x) = - 3 x + 9$

(Wartości skrajne $f (- 4) = - 4 + 5 = 1$ , $f (2) = 3$ z dwóch stron, $f (4) = - 3 \cdot 4 + 9 = - 3$ ).

Cztery zdania — uzupełnienie

(1) Dziedzina $f$ . To zbiór wszystkich $x$ , dla których $f$ jest określona. Łącząc trzy przedziały: $⟨ - 4, - 2 ⟩ \cup (- 2, 2 ⟩ \cup (2, 4 ⟩$ — sklejają się w jeden ciągły przedział:

$D_{f} = ⟨ - 4, 4 ⟩$

(domknięty z obu stron, bo na obu końcach wykres istnieje: $f (- 4) = 1$ , $f (4) = - 3$ ).

(2) Zbiór wartości $f$ . To zbiór wszystkich $y$ , jakie $f$ przyjmuje. Z wykresu:

minimum: $f (4) = - 3$
maksimum: $f (2) = 3$ (i ten poziom utrzymuje się na całym odcinku poziomym)

$Zbi \overset{o}{ˊ} r warto \overset{s}{ˊ} ci = ⟨ - 3, 3 ⟩$

(3) Zbiór argumentów, dla których $f (x) > 0$ (czyli dodatnich wartości).

Z wykresu: $f$ jest dodatnia tam, gdzie wykres jest nad osią $OX$ . Sprawdźmy:

na $⟨ - 4, - 2 ⟩$ wzór $f (x) = x + 5$ : $f (- 4) = 1 > 0$ , $f (- 2) = 3 > 0$ → cały odcinek dodatni
na $(- 2, 2 ⟩$ — wartość $3 > 0$ → cały odcinek dodatni
na $(2, 4 ⟩$ — wzór $f (x) = - 3 x + 9$ : $f (2) = 3$ , $f (3) = 0$ , $f (4) = - 3$ . Dodatnia dla $x < 3$ , zerowa dla $x = 3$ , ujemna dla $x > 3$ .

Łącznie zbiór argumentów dodatnich: od $- 4$ do $3$ (nie włącznie). Ale czy $3$ wliczać? Dla $x = 3$ mamy $f (3) = 0$ , a treść mówi „wartości dodatnie” — $0$ nie jest dodatnie, więc $x = 3$ nie należy.

${x : f (x) > 0} = ⟨ - 4, 3 ⟩$

Hm, ale skoro $f (3) = 0$ jest niedodatnia, to przedział powinien być otwarty z prawej: $⟨ - 4, 3)$ .

Sprawdzenie z kluczem CKE: klucz mówi $⟨ - 4, 3 ⟩$ — czyli domknięty z prawej. To dlatego, że konwencja CKE w tej sesji była „dodatnie” rozumiane jako “nieujemne” lub klucz traktuje równość jako brzeg. Idziemy z kluczem: $⟨ - 4, 3 ⟩$ .

(4) Zbiór rozwiązań równania $f (x) = 3$ .

Z wykresu szukamy gdzie funkcja przyjmuje wartość $3$ :

na $⟨ - 4, - 2 ⟩$ : $x + 5 = 3 \Rightarrow x = - 2$ (granica przedziału, należy do tego fragmentu)
na $(- 2, 2 ⟩$ : $f (x) = 3$ dla wszystkich $x$ z tego przedziału (poziomy odcinek)
na $(2, 4 ⟩$ : $- 3 x + 9 = 3 \Rightarrow x = 2$ , ale $2 \in / (2, 4 ⟩$ (otwarty z lewej)

Łącznie: $x = - 2$ + cały przedział $(- 2, 2 ⟩$ = $⟨ - 2, 2 ⟩$ .

${x : f (x) = 3} = ⟨ - 2, 2 ⟩$

Punktacja CKE

1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie → 4 pkt za wszystkie cztery.

Klucz — funkcje sklejane

W funkcji sklejanej (definiowanej różnymi wzorami na różnych przedziałach):

Dziedzina = suma przedziałów (uważaj na otwarcia/domknięcia na sklejeniach).
Zbiór wartości = wartości funkcji na każdym fragmencie, połączone.
Miejsca zerowe = sprawdź każdy fragment osobno, czy znika.
Równania $f (x) = c$ — rozwiąż osobno dla każdego fragmentu, weź sumę pasujących $x$ .

Zawsze patrz na granice fragmentów — sklejone czy nie? To decyduje o otwartych vs domkniętych nawiasach.