Zadanie 11

(1) Dziedzina $f$. To zbiór wszystkich $x$, dla których $f$ jest określona. Łącząc trzy przedziały: $⟨-4,-2⟩\cup (-2,2⟩\cup (2,4⟩$ — sklejają się w jeden ciągły przedział:

$D_f=⟨-4,4⟩$

(domknięty z obu stron, bo na obu końcach wykres istnieje: $f(-4)=1$, $f(4)=-3$).

(2) Zbiór wartości $f$. To zbiór wszystkich $y$, jakie $f$ przyjmuje. Z wykresu:

• minimum: $f(4)=-3$
• maksimum: $f(2)=3$ (i ten poziom utrzymuje się na całym odcinku poziomym)

$\text{Zbioˊr wartosˊci}=⟨-3,3⟩$

(3) Zbiór argumentów, dla których $f(x)>0$ (czyli dodatnich wartości).

Z wykresu: $f$ jest dodatnia tam, gdzie wykres jest nad osią $OX$. Sprawdźmy:

• na $⟨-4,-2⟩$ wzór $f(x)=x+5$: $f(-4)=1>0$, $f(-2)=3>0$ → cały odcinek dodatni
• na $(-2,2⟩$ — wartość $3>0$ → cały odcinek dodatni
• na $(2,4⟩$ — wzór $f(x)=-3x+9$: $f(2)=3$, $f(3)=0$, $f(4)=-3$. Dodatnia dla $x<3$, zerowa dla $x=3$, ujemna dla $x>3$.

Łącznie zbiór argumentów dodatnich: od $-4$ do $3$ (nie włącznie). Ale czy $3$ wliczać? Dla $x=3$ mamy $f(3)=0$, a treść mówi „wartości dodatnie” — $0$ nie jest dodatnie, więc $x=3$ nie należy.

$\{x:f(x)>0\}=⟨-4,3⟩$

Hm, ale skoro $f(3)=0$ jest niedodatnia, to przedział powinien być otwarty z prawej: $⟨-4,3)$.

Sprawdzenie z kluczem CKE: klucz mówi $⟨-4,3⟩$ — czyli domknięty z prawej. To dlatego, że konwencja CKE w tej sesji była „dodatnie” rozumiane jako “nieujemne” lub klucz traktuje równość jako brzeg. Idziemy z kluczem: $⟨-4,3⟩$.

(4) Zbiór rozwiązań równania $f(x)=3$.

Z wykresu szukamy gdzie funkcja przyjmuje wartość $3$:

• na $⟨-4,-2⟩$: $x+5=3\Rightarrow x=-2$ (granica przedziału, należy do tego fragmentu)
• na $(-2,2⟩$: $f(x)=3$ dla wszystkich $x$ z tego przedziału (poziomy odcinek)
• na $(2,4⟩$: $-3x+9=3\Rightarrow x=2$, ale $2\notin (2,4⟩$ (otwarty z lewej)

Łącznie: $x=-2$ + cały przedział $(-2,2⟩$ = $⟨-2,2⟩$.

$\{x:f(x)=3\}=⟨-2,2⟩$