Zadanie 12

Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ . Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(3, 6)$ . Parabola przecina oś $O Y$ w punkcie $(0, 3)$ . Zadanie składa się z trzech podpunktów.

12.1 (2 pkt): wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

12.2 (1 pkt): oś symetrii wykresu — wybierz z A. $x = 3$ , B. $x = - 3$ , C. $y = 6$ , D. $y = - 6$ .

12.3 (1 pkt): $g (x) = f (x) - 3$ , $x_{1}$ i $x_{2}$ są miejscami zerowymi $g$ . Podaj $x_{1} + x_{2}$ .

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

12.1: $f (x) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6$ • 12.2: A — $x = 3$ • 12.3: $x_{1} + x_{2} = 6$

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd w 12.1: nieprawidłowy znak postaci kanonicznej. Wierzchołek $(p, q)$ daje wzór $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ — w nawiasie ODEJMUJEMY $p$ . W 12.3: nie trzeba wyznaczać $x_{1}, x_{2}$ osobno — wystarczy zauważyć, że $g (x) = 0$ to $f (x) = 3$ , czyli punkty symetryczne wzgl. osi $x = 3$ , więc $x_{1} + x_{2} = 2 \cdot 3 = 6$ .

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 12 - strona 12 arkusza CKE — Strona 12 arkusza CKE z trescia zadania 12. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 12

Wykres — co wiemy?

Wierzchołek: $W = (3, 6)$
Punkt przecięcia z osią $O Y$ : $(0, 3)$
Parabola otwiera się w dół (z rysunku — wartość $6$ to maksimum, parabola spada na boki)

12.1 — postać kanoniczna $f$ (2 pkt)

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

$f (x) = a (x - p)^{2} + q$

gdzie $(p, q)$ to wierzchołek.

Podstaw wierzchołek $(3, 6)$ : $p = 3$ , $q = 6$ .

$f (x) = a (x - 3)^{2} + 6$

Wyznacz $a$ z punktu $(0, 3)$ . Podstaw $x = 0$ , $f (0) = 3$ :

$3 = a (0 - 3)^{2} + 6$

$3 = 9 a + 6$

$9 a = - 3 \Rightarrow a = - \frac{1}{3}$

Zapisz finalną postać.

$f (x) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6$

12.2 — oś symetrii (1 pkt)

Klucz: oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Czyli $x = p$ , gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka.

Tu wierzchołek ma $p = 3$ , więc oś symetrii to:

$x = 3$

12.3 — suma miejsc zerowych $g$ (1 pkt)

Dane: $g (x) = f (x) - 3$ . Miejsca zerowe $g$ to takie $x$ , że $g (x) = 0$ , czyli $f (x) - 3 = 0$ , czyli $f (x) = 3$ .

Sposób I — przez własność symetrii (eleganckie)

Wykres $f$ jest symetryczny względem osi $x = 3$ . Każda wartość funkcji (poza maksymalną) jest przyjmowana w dwóch punktach symetrycznych względem $x = 3$ :

$\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = 3 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 6$

(symetria dwóch punktów: średnia = oś symetrii).

Sposób II — algebraicznie (jeśli nie zauważysz)

Z $f (x) = 3$ :

$- \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6 = 3$

$- \frac{1}{3} (x - 3)^{2} = - 3$

$(x - 3)^{2} = 9$

$x - 3 = \pm 3$

$x_{1} = 0 lub x_{2} = 6$

Suma: $x_{1} + x_{2} = 0 + 6 = 6$ .

Klucz — suma miejsc zerowych przez symetrię

Najszybsza droga w zadaniach o paraboli: skoro miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii, ich średnia to oś symetrii, czyli $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = p$ , więc:

$x_{1} + x_{2} = 2 p$

gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka. Działa zawsze dla paraboli, bez wyznaczania samych $x_{1}, x_{2}$ .

Tu $p = 3$ , więc $x_{1} + x_{2} = 6$ . Pięć sekund.

Punktacja CKE

12.1 (2 pkt): 1 pkt za zapisanie $f (x) = a (x - 3)^{2} + 6$ z prawidłowym wierzchołkiem; 2 pkt za pełny wzór z $a = - \frac{1}{3}$ .
12.2 (1 pkt): oś $x = 3$ .
12.3 (1 pkt): $x_{1} + x_{2} = 6$ .

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Wykres — co wiemy?

12.1 — postać kanoniczna $f$ (2 pkt)

12.2 — oś symetrii (1 pkt)

12.3 — suma miejsc zerowych $g$ (1 pkt)

Sposób I — przez własność symetrii (eleganckie)

Sposób II — algebraicznie (jeśli nie zauważysz)

Klucz — suma miejsc zerowych przez symetrię

Punktacja CKE

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Wykres — co wiemy?

12.1 — postać kanoniczna f (2 pkt)

12.2 — oś symetrii (1 pkt)

12.3 — suma miejsc zerowych g (1 pkt)

Sposób I — przez własność symetrii (eleganckie)

Sposób II — algebraicznie (jeśli nie zauważysz)

Klucz — suma miejsc zerowych przez symetrię

Punktacja CKE

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

12.1 — postać kanoniczna $f$ (2 pkt)

12.3 — suma miejsc zerowych $g$ (1 pkt)