Zadanie 12

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Wykres — co wiemy?

• Wierzchołek: $W=(3,6)$
• Punkt przecięcia z osią $OY$: $(0,3)$
• Parabola otwiera się w dół (z rysunku — wartość $6$ to maksimum, parabola spada na boki)

---

12.1 — postać kanoniczna $f$ (2 pkt)

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

$f(x)=a(x-p{)}^2+q$

gdzie $(p,q)$ to wierzchołek.

---

12.2 — oś symetrii (1 pkt)

Klucz: oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Czyli $x=p$, gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka.

Tu wierzchołek ma $p=3$, więc oś symetrii to:

$x=3$

---

12.3 — suma miejsc zerowych $g$ (1 pkt)

Dane: $g(x)=f(x)-3$. Miejsca zerowe $g$ to takie $x$, że $g(x)=0$, czyli $f(x)-3=0$, czyli $f(x)=3$.

Sposób I — przez własność symetrii (eleganckie)

Wykres $f$ jest symetryczny względem osi $x=3$. Każda wartość funkcji (poza maksymalną) jest przyjmowana w dwóch punktach symetrycznych względem $x=3$:

$\frac{x_1+x_2}{2}=3\Rightarrow x_1+x_2=6$

(symetria dwóch punktów: średnia = oś symetrii).

Sposób II — algebraicznie (jeśli nie zauważysz)

Z $f(x)=3$:

$-\frac{1}{3}(x-3{)}^2+6=3$

$-\frac{1}{3}(x-3{)}^2=-3$

$(x-3{)}^2=9$

$x-3=\pm 3$

$x_1=0\text{lub}{x}_2=6$

Suma: $x_1+x_2=0+6=6$.

Klucz — suma miejsc zerowych przez symetrię

Najszybsza droga w zadaniach o paraboli: skoro miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii, ich średnia to oś symetrii, czyli $\frac{x_1+x_2}{2}=p$, więc:

$x_1+x_2=2p$

gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka. Działa zawsze dla paraboli, bez wyznaczania samych $x_1,x_2$.

Tu $p=3$, więc $x_1+x_2=6$. Pięć sekund.

Punktacja CKE

• 12.1 (2 pkt): 1 pkt za zapisanie $f(x)=a(x-3{)}^2+6$ z prawidłowym wierzchołkiem; 2 pkt za pełny wzór z $a=-\frac{1}{3}$.
• 12.2 (1 pkt): oś $x=3$.
• 12.3 (1 pkt): $x_1+x_2=6$.