MMAP-P0-100-2505 • Otwarte krótkie • 4 pkt • Trudność: ★★★☆☆

Zadanie 12

Matura z matematyki, maj 2025, poziom podstawowy

Wymaganie:

12.1: V.9 — wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie. 12.2: V.11 — wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych. 12.3: V.12 — na podstawie wykresu funkcji $y = f (x)$ szkicuje wykres funkcji $y = f (x) + b$ ; V.4 — odczytuje z wykresu funkcji miejsca zerowe.

Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ . Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(3, 6)$ . Parabola przecina oś $O Y$ w punkcie $(0, 3)$ . Zadanie składa się z trzech podpunktów.

12.1 (2 pkt): wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

12.2 (1 pkt): oś symetrii wykresu — wybierz z A. $x = 3$ , B. $x = - 3$ , C. $y = 6$ , D. $y = - 6$ .

12.3 (1 pkt): $g (x) = f (x) - 3$ , $x_{1}$ i $x_{2}$ są miejscami zerowymi $g$ . Podaj $x_{1} + x_{2}$ .

Fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y = f(x) na siatce w kartezjańskim układzie współrzędnych, z wierzchołkiem w punkcie (3, 6). — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505 Oryginalny PDF CKE, str. 12

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

12.1: $f (x) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6$ • 12.2: A — $x = 3$ • 12.3: $x_{1} + x_{2} = 6$

Typowy błąd / pułapka

Pułapka w 12.1: znak w postaci kanonicznej. Wierzchołek $(p, q)$ daje wzór $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ — w nawiasie ODEJMUJEMY $p$ . W 12.3: nie trzeba wyznaczać $x_{1}, x_{2}$ osobno — wystarczy zauważyć, że $g (x) = 0$ to $f (x) = 3$ , czyli punkty symetryczne wzgl. osi $x = 3$ , więc $x_{1} + x_{2} = 2 \cdot 3 = 6$ .

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 12 - strona 12 arkusza CKE — Strona 12 arkusza CKE z trescia zadania 12. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 12

Wykres — co wiemy?

Wierzchołek: $W = (3, 6)$
Punkt przecięcia z osią $O Y$ : $(0, 3)$
Parabola otwiera się w dół (z rysunku — wartość $6$ to maksimum, parabola spada na boki)

12.1 — postać kanoniczna $f$ (2 pkt)

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

$f (x) = a (x - p)^{2} + q$

gdzie $(p, q)$ to wierzchołek.

Podstaw wierzchołek $(3, 6)$ : $p = 3$ , $q = 6$ .

$f (x) = a (x - 3)^{2} + 6$

Wyznacz $a$ z punktu $(0, 3)$ . Podstaw $x = 0$ , $f (0) = 3$ :

$3 = a (0 - 3)^{2} + 6$

$3 = 9 a + 6$

$9 a = - 3 \Rightarrow a = - \frac{1}{3}$

Zapisz finalną postać.

$f (x) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6$

12.2 — oś symetrii (1 pkt)

Klucz: oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Czyli $x = p$ , gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka.

Tu wierzchołek ma $p = 3$ , więc oś symetrii to:

$x = 3$

12.3 — suma miejsc zerowych $g$ (1 pkt)

Dane: $g (x) = f (x) - 3$ . Miejsca zerowe $g$ to takie $x$ , że $g (x) = 0$ , czyli $f (x) - 3 = 0$ , czyli $f (x) = 3$ .

Sposób I — przez własność symetrii (eleganckie)

Wykres $f$ jest symetryczny względem osi $x = 3$ . Każda wartość funkcji (poza maksymalną) jest przyjmowana w dwóch punktach symetrycznych względem $x = 3$ :

$\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = 3 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 6$

(symetria dwóch punktów: średnia = oś symetrii).

Sposób II — algebraicznie (jeśli nie zauważysz)

Z $f (x) = 3$ :

$- \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6 = 3$

$- \frac{1}{3} (x - 3)^{2} = - 3$

$(x - 3)^{2} = 9$

$x - 3 = \pm 3$

$x_{1} = 0 lub x_{2} = 6$

Suma: $x_{1} + x_{2} = 0 + 6 = 6$ .

Klucz — suma miejsc zerowych przez symetrię

Skrót w zadaniach o paraboli: skoro miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii, ich średnia to oś symetrii, czyli $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = p$ , więc:

$x_{1} + x_{2} = 2 p$

gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka. Działa dla każdej paraboli, która ma dwa różne miejsca zerowe, bez wyznaczania samych $x_{1}, x_{2}$ .

Tu $p = 3$ , więc $x_{1} + x_{2} = 6$ .

Punktacja CKE

12.1 (2 pkt): 1 pkt m.in. za zapisanie $f (x) = a (x - 3)^{2} + 6$ albo za obliczenie (z uzasadnieniem) $a = - \frac{1}{3}$ ; 2 pkt za poprawną metodę i wzór $f (x) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6$ .
12.2 (1 pkt): oś $x = 3$ .
12.3 (1 pkt): $x_{1} + x_{2} = 6$ .

Podobne zadania

funkcja kwadratowa, odczyt z wykresu, przekształcenia

Zadanie 14 (5 pkt)

maj 2024 • PP

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. (Z rysunku: wierzchołek $(1, 9)$, miejsca zerowe $-2$ oraz $4$, punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 8)$). ### Zadanie 14.1. (0-1) Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) \geq 0$ jest przedział .......... ### Zadanie 14.2. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem **A.** $f(x) = -(x+1)^2 - 9$ **B.** $f(x) = -(x-1)^2 + 9$ **C.** $f(x) = -(x-1)^2 - 9$ **D.** $f(x) = -(x+1)^2 + 9$ ### Zadanie 14.3. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość **A.** $f(-4) = f(6)$ **B.** $f(-4) = f(5)$ **C.** $f(-4) = f(4)$ **D.** $f(-4) = f(7)$ ### Zadanie 14.4. (0-2) Funkcje kwadratowe $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x) = f(x+3)$, $h(x) = f(-x)$. Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji $g$ oraz fragment wykresu funkcji $h$. Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji $g$ oraz $h$ przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „funkcja kwadratowa, postać kanoniczna, oś symetrii” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl