Zadanie 31

Treść zadania

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $A BC D EFG H$ , w których krawędź $BC$ ma długość $4$ , a suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ . Niech $P (x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $A B$ . Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$ . Oblicz długość $x$ krawędzi $A B$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.

Prostopadłościan ABCDEFGH z krawędzią AB oznaczoną jako x i krawędzią BC o długości 4. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505 Oryginalny PDF CKE, str. 28

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

$P (x) = - 2 x^{2} + 22 x + 88$ , dziedzina $x \in (0, 11)$ , max dla $x = 5, 5$ (gdzie $P_{m a x} = 148, 5$ ).

Typowy błąd / pułapka

Zasady oceniania CKE: bez wyznaczonej dziedziny funkcji $P$ — najwyżej 3 pkt zamiast 4. Druga pułapka: z wierzchołka B wychodzą trzy krawędzie — AB, BC, BF — i wszystkie trzy wchodzą do sumy $15$ .

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 31 - strona 28 arkusza CKE — Strona 28 arkusza CKE z trescia zadania 31. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 28

Klucz — wierzchołek prostopadłościanu

Z każdego wierzchołka prostopadłościanu wychodzą trzy krawędzie, prostopadłe parami. Z wierzchołka $B$ wychodzą:

$A B$ (długość $x$ — szukamy)
$BC$ (długość $4$ — dana)
$BF$ (wysokość prostopadłościanu — oznaczę $y$ )

Wyznacz $y$ z warunku sumy

Suma krawędzi z $B$ : $x + 4 + y = 15$ , więc:

$y = 11 - x$

Dziedzina: oba wymiary $x$ i $y$ muszą być dodatnie (długości boków).

$x > 0 oraz y > 0$

$x > 0$ trywialnie. $y = 11 - x > 0$ daje $x < 11$ .

$Dziedzina : x \in (0, 11)$

Wyznacz wzór $P (x)$

Pole całkowite prostopadłościanu o wymiarach $a \times b \times c$ to:

$P = 2 (ab + b c + c a)$

(sześć ścian, parami równe: dwie o polu $ab$ , dwie $b c$ , dwie $c a$ ).

Podstaw $a = x$ , $b = 4$ , $c = y = 11 - x$ :

$P = 2 \cdot [x \cdot 4 + 4 \cdot (11 - x) + (11 - x) \cdot x]$

Uprość każdy człon:

$x \cdot 4 = 4 x$
$4 \cdot (11 - x) = 44 - 4 x$
$(11 - x) \cdot x = 11 x - x^{2}$

Suma: $4 x + 44 - 4 x + 11 x - x^{2} = - x^{2} + 11 x + 44$ .

Pomnóż przez 2:

$P (x) = 2 \cdot (- x^{2} + 11 x + 44) = - 2 x^{2} + 22 x + 88$

Wyznacz $x$ dla maksimum pola

Funkcja $P (x) = - 2 x^{2} + 22 x + 88$ to funkcja kwadratowa z ujemnym współczynnikiem przy $x^{2}$ → parabola otwiera się w dół → maksimum w wierzchołku.

Współrzędna $x$ wierzchołka:

$x_{w} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{22}{2 \cdot ( - 2 )} = - \frac{22}{- 4} = \frac{22}{4} = 5, 5$

Sprawdź, że $x_{w} = 5, 5$ leży w dziedzinie $(0, 11)$ . Tak ✓.

Oblicz wartość maksymalną (opcjonalnie):

$P (5, 5) = - 2 \cdot (5, 5)^{2} + 22 \cdot 5, 5 + 88$

$(5, 5)^{2} = 30, 25$ , więc:

$P_{m a x} = - 60, 5 + 121 + 88 = 148, 5$

Sprawdzenie geometryczne

Dla $x = 5, 5$ : $y = 11 - 5, 5 = 5, 5$ . Wymiary prostopadłościanu: $5, 5 \times 4 \times 5, 5$ .

Czyli $x = y$ — co intuicyjnie ma sens: przy ustalonej sumie boków pole jest maksymalizowane, gdy wymiary są wyrównane (analog do „kwadrat ma największe pole spośród prostokątów o ustalonym obwodzie”). Tu widać to wprost: $P = 2 (4 x + 4 y + x y) = 2 (44 + x y)$ , więc przy $x + y = 11$ największe pole daje największy iloczyn $x y$ .

Punktacja CKE

Według zasad oceniania CKE (w skrócie):

1 pkt — m.in. zapisanie zależności $x + 4 + ∣ BF ∣ = 15$ ALBO wzoru $P = 2 (4 x + x \cdot ∣ BF ∣ + 4 \cdot ∣ BF ∣)$ ALBO samego zakresu $x \in (0, 11)$ .
2 pkt — wzór $P (x) = - 2 x^{2} + 22 x + 88$ ALBO zależność $x + 4 + ∣ BF ∣ = 15$ razem z zakresem $x \in (0, 11)$ .
3 pkt — wzór $P (x)$ i dziedzina $(0, 11)$ ALBO wzór $P (x)$ i $x = \frac{11}{2}$ (bez dziedziny).
4 pkt — poprawna metoda i wszystkie wyniki: $P (x) = - 2 x^{2} + 22 x + 88$ , $D = (0, 11)$ , $x = \frac{11}{2}$ .

Klucz uniwersalny

Zadanie typu „optymalizacja z prostopadłościanu / prostokąta” rozwiązujesz w krokach:

Zidentyfikuj zmienne (zwykle dwie, np. $x$ i $y$ ).
Wyłap warunek wiążący ( $x + y = c$ lub $x y = c$ — z treści).
Wyraź jedną zmienną przez drugą.
Wyraź funkcję celu (pole / objętość / koszty) jako funkcję jednej zmiennej.
Wyznacz dziedzinę — kiedy obie zmienne mają sens?
Znajdź ekstremum — wierzchołek paraboli (dla kwadratowej) lub pochodna (dla wyższych stopni).
Sprawdź, czy ekstremum jest w dziedzinie.

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Klucz — wierzchołek prostopadłościanu

Wyznacz $y$ z warunku sumy

Wyznacz wzór $P (x)$

Wyznacz $x$ dla maksimum pola

Sprawdzenie geometryczne

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Klucz — wierzchołek prostopadłościanu

Wyznacz y z warunku sumy

Wyznacz wzór P(x)

Wyznacz x dla maksimum pola

Sprawdzenie geometryczne

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Wyznacz $y$ z warunku sumy

Wyznacz wzór $P (x)$

Wyznacz $x$ dla maksimum pola