Zadanie 31

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Klucz — wierzchołek prostopadłościanu

Z każdego wierzchołka prostopadłościanu wychodzą trzy krawędzie, prostopadłe parami. Z wierzchołka $B$ wychodzą:

• $AB$ (długość $x$ — szukamy)
• $BC$ (długość $4$ — dana)
• $BF$ (wysokość prostopadłościanu — oznaczę $y$)

Wyznacz $y$ z warunku sumy

Wyznacz wzór $P(x)$

Pole całkowite prostopadłościanu o wymiarach $a\times b\times c$ to:

$P=2(ab+bc+ca)$

(sześć ścian, parami równe: dwie o polu $ab$, dwie $bc$, dwie $ca$).

Wyznacz $x$ dla maksimum pola

Funkcja $P(x)=-2x^2+22x+88$ to funkcja kwadratowa z ujemnym współczynnikiem przy $x^2$ → parabola otwiera się w dół → maksimum w wierzchołku.

Sprawdzenie geometryczne

Dla $x=5,5$: $y=11-5,5=5,5$. Wymiary prostopadłościanu: $5,5\times 4\times 5,5$.

Czyli $x=y$ — co intuicyjnie ma sens: przy ustalonej sumie boków pole jest maksymalizowane, gdy wymiary są wyrównane (analog do „kwadrat ma największe pole spośród prostokątów o ustalonym obwodzie”).

Punktacja CKE

• 1 pkt — zapisanie zależności $y=11-x$ (lub $x+y=11$).
• 2 pkt — zapisanie wzoru funkcji $P(x)=-2x^2+22x+88$ (lub równoważnej).
• 3 pkt — dodatkowo wyznaczenie dziedziny $(0,11)$.
• 4 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $x=5,5$ z uzasadnieniem (np. współrzędna wierzchołka paraboli).

Klucz uniwersalny

Każde zadanie „optymalizacja z prostopadłościanu / prostokąta” sprowadza się do:

1. Zidentyfikuj zmienne (zwykle dwie, np. $x$ i $y$).
2. Wyłap warunek wiążący ($x+y=c$ lub $xy=c$ — z treści).
3. Wyraź jedną zmienną przez drugą.
4. Wyraź funkcję celu (pole / objętość / koszty) jako funkcję jednej zmiennej.
5. Wyznacz dziedzinę — kiedy obie zmienne mają sens?
6. Znajdź ekstremum — wierzchołek paraboli (dla kwadratowej) lub pochodna (dla wyższych stopni).
7. Sprawdź, czy ekstremum jest w dziedzinie.

Schemat sprawdzony na maturze podstawowej i rozszerzonej.