Zadanie 15

Rozwiązanie

$m = \frac{5}{2}$ (ciąg $16, 9, 25, 2, 5$ — arytmetyczny, malejący)

Typowy błąd / pułapka

Pułapka: znaleźć dwa rozwiązania równania na arytmetyczność i nie odrzucić tego, dla którego ciąg jest stały (a nie malejący). Treść mówi „arytmetyczny i malejący” — drugi warunek wymaga sprawdzenia.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 15 - strona 16 arkusza CKE — Strona 16 arkusza CKE z trescia zadania 15. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 16

Klucz teoretyczny

Trzywyrazowy ciąg $(a, b, c)$ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:

$2 b = a + c$

(środkowy wyraz × 2 = suma sąsiednich). Równoważnie: $b - a = c - b$ , czyli różnice kolejnych są równe.

Ciąg arytmetyczny jest malejący ⟺ różnica $r < 0$ , czyli $b < a$ .

Zastosuj warunek arytmetyczności.

$2 (m^{2} + 3) = (2 m + 11) + (5 - m)$

$2 m^{2} + 6 = m + 16$

$2 m^{2} - m - 10 = 0$

Rozwiąż równanie kwadratowe.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10) = 1 + 80 = 81$

$Δ = 9$

$m_{1} = \frac{1 - 9}{4} = - 2, m_{2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Sprawdź dla każdego $m$ , czy ciąg jest MALEJĄCY.

Dla $m = - 2$ :

$2 m + 11 = - 4 + 11 = 7$
$m^{2} + 3 = 4 + 3 = 7$
$5 - m = 5 + 2 = 7$

Ciąg: $(7, 7, 7)$ — arytmetyczny ( $r = 0$ ), ale stały, nie malejący. Odrzucamy $m = - 2$ .

Dla $m = \frac{5}{2}$ :

$2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$
$(\frac{5}{2})^{2} + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4} = 9, 25$
$5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} = 2, 5$

Ciąg: $(16, 9, 25, 2, 5)$ — różnica $r = 9, 25 - 16 = - 6, 75 < 0$ → malejący ✓

Punktacja CKE

Według zasad oceniania CKE (w skrócie):

1 pkt — m.in. zapisanie równania z jedną niewiadomą $m$ wynikającego z arytmetyczności (np. $\frac{2 m + 11 + 5 - m}{2} = m^{2} + 3$ ) ALBO rozwiązanie jednej z nierówności opisujących to, że ciąg maleje.
2 pkt — m.in. wyznaczenie wartości $m$ , dla których ciąg jest arytmetyczny: $m = - 2$ oraz $m = \frac{5}{2}$ .
3 pkt — obliczenie i uzasadnienie, że jedyną szukaną wartością jest $m = \frac{5}{2}$ (dla $m = - 2$ ciąg nie jest malejący).

Klucz — zadania „ciąg z parametrem”

Procedura uniwersalna:

Zapisz warunek wynikający z typu ciągu (arytmetyczny: $2 b = a + c$ ; geometryczny: $b^{2} = a \cdot c$ ).
Rozwiąż równanie na parametr — zwykle kwadratowe.
Sprawdź każde rozwiązanie względem dodatkowych warunków z treści (rosnący / malejący / dodatni / itd.).
Odrzuć rozwiązania, które nie spełniają wszystkich warunków.

Tutaj kluczowy był krok 3 — bez niego dostałbyś dwa wyniki zamiast jednego.

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Klucz teoretyczny

Punktacja CKE

Klucz — zadania „ciąg z parametrem”

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji