Zadanie 14 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2025, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ciąg $(a_{n})$ jest określony rekurencyjnie: $a_{1} = 2$ oraz $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Zadanie ma dwie części. 14.1 (1 pkt): trzeci wyraz ciągu — wybierz

4

5

7

11

. 14.2 (1 pkt): oceń P/F: ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny; ciąg

(a_{n})

jest geometryczny

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

14.1: D — $a_{3} = 11$ • 14.2: FF (nie arytmetyczny, nie geometryczny)

Typowy błąd / pułapka

Pułapka w 14.1: pomylenie indeksów. Wzór $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ daje $a_{2}$ z $a_{1}$ , $a_{3}$ z $a_{2}$ , itd. Niektórzy podstawiają $n = 3$ i obliczają „ $2 \cdot a_{3} + 1$ ” jako odpowiedź — to byłby $a_{4}$ , nie $a_{3}$ .

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 14 - strona 15 arkusza CKE — Strona 15 arkusza CKE z trescia zadania 14. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 15

14.1 — trzeci wyraz ciągu (1 pkt)

Wzór rekurencyjny mówi: znając poprzedni wyraz $a_{n}$ , kolejny obliczasz jako $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ .

$a_{1} = 2$ (z definicji).

$a_{2} = 2 a_{1} + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ .

$a_{3} = 2 a_{2} + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$ .

14.2 — czy ciąg jest arytmetyczny / geometryczny? (1 pkt)

Sprawdźmy obie własności na wyrazach, które już obliczyliśmy: $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 5$ , $a_{3} = 11$ .

Test arytmetyczności: różnice kolejnych wyrazów muszą być stałe.

$a_{2} - a_{1} = 5 - 2 = 3$

$a_{3} - a_{2} = 11 - 5 = 6$

$3 \neq = 6$ → ciąg NIE jest arytmetyczny.

Test geometryczności: ilorazy kolejnych wyrazów muszą być stałe.

$\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{5}{2} = 2, 5$

$\frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{11}{5} = 2, 2$

$2, 5 \neq = 2, 2$ → ciąg NIE jest geometryczny.

Klucz — ciągi rekurencyjne

Przy ciągu rekurencyjnym $a_{n + 1} = f (a_{n})$ :

Oblicz pierwsze kilka wyrazów — bezpośrednio z wzoru, krok po kroku.
Sprawdź arytmetyczność — różnice kolejnych wyrazów. Żeby wykazać, że ciąg NIE jest arytmetyczny, wystarczą trzy wyrazy z różnymi różnicami.
Sprawdź geometryczność — ilorazy kolejnych wyrazów. Żeby wykazać, że ciąg NIE jest geometryczny, wystarczą trzy wyrazy z różnymi ilorazami.

W tym zadaniu wystarczyły kroki 1–3.