Zadanie 8 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2025, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $- 2$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\frac{x ^{2} + x}{x ^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x + 2}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

\frac{x + 2}{4 x + 4}

\frac{x + 1}{4 x + 5}

\frac{x + 1}{x + 2}

\frac{2 x}{x + 2}

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

C — $\frac{x + 1}{x + 2}$

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd to pominięcie rozkładu mianownika $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ . Kto nie rozłoży, nie zauważy że $(x + 2)^{2}$ skraca się z licznikiem $(x + 2)$ z drugiego ułamka.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 8 - strona 8 arkusza CKE — Strona 8 arkusza CKE z trescia zadania 8. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 8

Strategia

Każdy z trzech wielomianów rozłóż na czynniki, potem skracaj wspólne czynniki licznika i mianownika.

Rozłóż licznik pierwszego ułamka: $x^{2} + x = x (x + 1)$ .

Rozłóż mianownik pierwszego ułamka: $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ (kwadrat sumy, wzór skróconego mnożenia z $a = x$ , $b = 2$ ).

Zapisz iloczyn z rozkładami:

$\frac{x ( x + 1 )}{( x + 2 ) ^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x}$

Połącz w jeden ułamek i skróć wspólne czynniki.

$\frac{x ( x + 1 ) \cdot ( x + 2 )}{( x + 2 ) ^{2} \cdot x} = \frac{x \cdot ( x + 1 ) \cdot ( x + 2 )}{x \cdot ( x + 2 ) \cdot ( x + 2 )}$

Skróć $x$ (licznik z mianownikiem — wolno, bo $x \neq = 0$ z założenia) i jedno $(x + 2)$ (wolno, bo $x \neq = - 2$ ):

$= \frac{x + 1}{x + 2}$

Sprawdzenie liczbowe

Dla $x = 1$ :

Lewa: $\frac{1 + 1}{1 + 4 + 4} \cdot \frac{1 + 2}{1} = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
C: $\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$ ✓

Dla $x = 2$ :

Lewa: $\frac{4 + 2}{4 + 8 + 4} \cdot \frac{4}{2} = \frac{6}{16} \cdot 2 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$
C: $\frac{3}{4}$ ✓

Dwa różne $x$ , oba pasują → wybór C potwierdzony.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „wyrażenia wymierne, upraszczanie" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl