Zadanie 5

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 5 - strona 6 arkusza CKE — Strona 6 arkusza CKE z trescia zadania 5. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 6

Strategia — parametryzacja liczby nieparzystej

Każda liczba naturalna nieparzysta ma postać $n = 2 l + 1$ , gdzie $l \in Z$ i $l \geq 0$ . To kluczowa parametryzacja: jeden parametr $l$ przebiega liczby całkowite nieujemne, a $n$ przebiega wszystkie nieparzyste naturalne ( $1, 3, 5, 7, \dots$ ).

Cel: pokazać, że po podstawieniu $n = 2 l + 1$ wyrażenie $3 n^{2} + 2 n + 7$ jest wielokrotnością $4$ dla każdego $l$ .

Sposób I — bezpośrednia parametryzacja

Podstaw $n = 2 l + 1$ :

$3 n^{2} + 2 n + 7 = 3 (2 l + 1)^{2} + 2 (2 l + 1) + 7$

Rozwiń $(2 l + 1)^{2} = 4 l^{2} + 4 l + 1$ :

$3 (4 l^{2} + 4 l + 1) + 2 (2 l + 1) + 7 = 12 l^{2} + 12 l + 3 + 4 l + 2 + 7$

Zsumuj wyrazy podobne:

$12 l^{2} + 12 l + 3 + 4 l + 2 + 7 = 12 l^{2} + 16 l + 12$

Wyłącz przed nawias $4$ :

$12 l^{2} + 16 l + 12 = 4 (3 l^{2} + 4 l + 3)$

Wyciągnij wniosek. Ponieważ $l$ jest liczbą całkowitą, to $3 l^{2} + 4 l + 3$ też jest liczbą całkowitą. Oznaczmy ją $k = 3 l^{2} + 4 l + 3$ . Wtedy:

$3 n^{2} + 2 n + 7 = 4 k$

co oznacza, że $3 n^{2} + 2 n + 7$ jest podzielne przez 4. To należało udowodnić. $■$

Sposób II — analiza reszt z dzielenia

Inne podejście: pokazać, że suma reszt trzech składników $3 n^{2}$ , $2 n$ , $7$ przy dzieleniu przez $4$ jest wielokrotnością $4$ .

Dla nieparzystej $n$ — co dzieje się z $n^{2}$ ?

Jeśli $n = 2 l + 1$ , to $n^{2} = 4 l^{2} + 4 l + 1 = 4 (l^{2} + l) + 1$ . Czyli $n^{2}$ daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$ .

Stąd $3 n^{2}$ daje resztę $3 \cdot 1 = 3$ przy dzieleniu przez $4$ .

Reszta z $2 n$ przy dzieleniu przez 4.

$2 n = 2 (2 l + 1) = 4 l + 2$ — daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $4$ .

Reszta z $7$ przy dzieleniu przez 4 to $3$ (bo $7 = 4 + 3$ ).

Zsumuj reszty: $3 + 2 + 3 = 8 = 4 \cdot 2$ . Suma reszt jest podzielna przez 4, więc cała suma $3 n^{2} + 2 n + 7$ jest podzielna przez $4$ . $■$

Punktacja CKE

Według zasad oceniania CKE (w skrócie):

1 pkt — m.in. zapisanie $n = 2 l + 1$ i przekształcenie wyrażenia do postaci $3 (4 l^{2} + 4 l + 1) + 2 (2 l + 1) + 7$ ALBO zapisanie, że $3 n^{2}$ daje przy dzieleniu przez $4$ resztę $3$ , a $2 n$ — resztę $2$ ALBO rozpatrzenie tylko jednego z przypadków $n = 4 l + 1$ , $n = 4 l + 3$ .
2 pkt — m.in. zapisanie $n = 2 l + 1$ i przekształcenie wyrażenia do postaci $4 (3 l^{2} + 4 l + 3)$ ALBO zapisanie reszt $3$ i $2$ oraz tego, że suma reszt liczb $3 n^{2}$ , $2 n$ , $7$ jest podzielna przez $4$ .

Klucz — dowody podzielności

Trzy typowe ścieżki:

Parametryzacja ( $n = 2 l$ , $n = 2 l + 1$ , $n = 3 l + r$ , …) i rozwinięcie z wyciąganiem dzielnika przed nawias.
Analiza reszt modulo dzielnik — wystarczy pokazać, że suma reszt jest wielokrotnością dzielnika.
Rozkład na sumę składników jawnie podzielnych przez dzielnik (np. $3 n^{2} + 2 n + 7 = 4 (n^{2} + n + 2) - (n + 1)^{2}$ ).

Wybierz parametryzację dopasowaną do zbioru ( $n$ nieparzyste → $n = 2 l + 1$ ).

Treść zadania

Rozwiązanie