Zadanie 17 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2025, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt $α$ jest ostry i spełnia warunek $3 tg α = 2 sin α$ . Cosinus kąta $α$ jest równy

\frac{1}{2}

\frac{2}{2}

\frac{3}{2}

\frac{3}{3}

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

C — $cos α = \frac{3}{2}$

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd to dzielenie obu stron przez $sin α$ BEZ założenia, że $sin α \neq = 0$ . Owszem, dla kąta ostrego $sin α \neq = 0$ (z definicji $0 < α < 90°$ , więc $sin α > 0$ ), ale formalnie założenie należy zaznaczyć.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 17 - strona 17 arkusza CKE — Strona 17 arkusza CKE z trescia zadania 17. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 17

Strategia

Sprowadź wszystko do $sin$ i $cos$ (używając $tan α = \frac{s i n α}{c o s α}$ ), potem skróć $sin α$ (wolno, bo $α$ ostry → $sin α > 0$ ).

Zastosuj tożsamość $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ :

$3 \cdot \frac{s i n α}{c o s α} = 2 sin α$

Skróć $sin α$ (kąt ostry → $sin α \neq = 0$ ):

$\frac{3}{c o s α} = 2$

Rozwiąż na $cos α$ .

$cos α = \frac{3}{2}$

Identyfikacja kąta

$cos α = \frac{3}{2}$ to kąt $α = 30°$ (jeden z trzech „znanych” kątów: $30°, 45°, 60°$ ).

Sprawdzenie warunku oryginalnego dla $α = 30°$ :

$3 tan 30° = 3 \cdot \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$2 sin 30° = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$1 = 1$ ✓ — warunek spełniony.

Klucz — trzy znane kąty

$α$	$sin α$	$cos α$	$tan α$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3} = \frac{1}{3}$
$45°$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

Wszystkie pojawiają się w „Wybranych wzorach matematycznych” CKE, ale warto je mieć w głowie — pozwala rozpoznać kąt po jednej wartości i sprawdzić w 5 sekund pozostałe.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „trygonometria, równanie z sin/cos" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl